- •В 11. Векторы в пространстве: линейные операции над векторами в геометрической форме, проекция вектора на ось
- •В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
- •В.13 Векторное произведение
- •В.14 Смешанное произведение
- •Плоскость в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •. Поверхности второго порядка
- •Предел функции в точке и на бесконечности
- •II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
- •. Односторонние пределы: Асимптоты графика функции.
- •Дифференцирование функции с переменной в основании степени и в показателе
- •Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически.
Предел функции в точке и на бесконечности
Пример 1. Пользуясь определением предела функции в точке по Коши, доказать, что
Решение. Зафиксируем произвольное значение
Согласно определению, требуется по найти такое число чтобы из условия следовало неравенство (2), которое в данном случае имеет вид
(6)
Упрощая последнее неравенство, получим
Следовательно, если принять то из неравенства будет следовать неравенство (6). Это и означает, что
Пример 2. Вычислить
Решение. Представим функцию как произведение двух функций и
Функция является суммой двух бесконечно малых функций при так как и Значит – бесконечно малая при
Функция является ограниченной, так как значения этой функции будут лежать в промежутке
Получаем произведение бесконечно малой на ограниченную
Значит f(x) – есть бесконечно малая при т. е.
Пример 3. Вычислить предел функции в точке двумя способами: непосредственно и с помощью замены переменной:
Решение. I способ. При подстановке в выражение, стоящее под знаком предела значения получаем неопределенность , для раскрытия которой разложим числитель и знаменатель дроби на множители.
,
.
Подставив полученные выражения, получим:
.
II способ. Чтобы избавится от неопределенности вида , введем замену переменной , т.К. При получим .
=
.
Замечательные пределы
Первый замечательный предел
(7)
Как следствие формулы (7) справедливы формулы
Второй замечательный предел
(8)
Третий замечательный предел (9)
в частности,
Четвертый замечательный предел
(10)
в частности,
Пятый замечательный предел
(11)
Указанные формулы (7)–(11) замечательных пределов обобщаются на любую функцию u(x), стоящую вместо независимой переменной х при условии, что если (или ) во всех формулах кроме (8), в которых
Обобщенная таблица замечательных пределов
;
; ; (12)
; ; (13)
; ; (14)
. (15)
При использовании обобщенных форму на практике вместо (под знаком предела пишут указанное в условии: .
Все приведенные формулы обобщенной таблицы замечательных пределов (кроме формул (12)) раскрывают неопределенность типа . Формулы (12) раскрывают неопределенность типа .
Пример 1. Вычислить предел функций в точке:
Решение. 1. 1) ; При непосредственной подстановке в функцию значения получаем неопределенность вида , для раскрытия которой воспользуемся первым замечательным пределом.
2. 2) ; При получаем неопределенность , для раскрытия которой сначала применим формулы тригонометрии, а затем первый замечательный предел.
.
3. ) Преобразуем вначале разность косинусов в произведение, а затем используем 1-й замечательный предел:
=
=
Пример 2. Вычислить предел функции, используя обобщенную таблицу замечательных пределов.
ешение. 1. 1) ; Воспользуемся второй формулой из (12):
В данном случае и , если ,
значит .
2. ; Непосредственная подстановка в функцию значения дает неопределенность вида , для раскрытия которой воспользуемся второй формулой из (12). Для этого преобразуем выражение под знаком предела.
=
=
= = .
3. ; При получаем неопределенность для раскрытия которой сначала упростим выражение, а затем применим формулы (7), (13), (15):
= =
= = .
4. .Имеем неопределенность вида . Сделаем замену переменной. Пусть , тогда . При новая переменная . При этом ,
, а
Подставив полученные выражения в формулу, получим
=
Эквивалентность функции
Пример 1. Вычислить предел функции в точке, заменяя бесконечно малые эквивалентными им:
.1) ;Непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности типа . Используем формулу (16), а также формулы (22), (24), (17) таблицы эквивалентных функций.
При этом выполняются условия , , если , которые являются обязательными для перехода к эквивалентным функциям. Тогда
Заметим, что решение примера с таким условием уже дано выше (см. 3-е условие примера 2 из параграфа 16.2).
2) ;При подстановке в выражения, получаем неопределенность вида . Чтобы от нее избавится, воспользуемся формулами (18), (23), (24) таблицы эквивалентных бесконечно малых. Получим, что при , .
.
Подставив полученные эквивалентные вместо соответствующих бесконечно малых, получим:
3. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела и используем формулу (19). 3) ;
Использование формулы (19) было обосновано тем, что если .
4) . Замечаем, что непосредственное вычисление предела приводит к неопределенности . Вместе с тем, , если , а поэтому можем использовать формулу (20). Тогда
.
Пример 2. Вычислить предел: .
Решение. I способ. При получим, что
и
Следовательно, получим неопределенность вида . Сделаем замену переменной. Введем такое t, чтобы , если .
=.
Дальше заменим бесконечно малые в числителе и знаменателе на эквивалентные по формулам (21), (23), (22), (18).
Мы имеем право сделать это в преобразованных выражениях, т.к. для соответствующей функции выполняется , если . Получаем:
= .
II способ. Поскольку при непосредственном вычислении предела имеем неопределенность типа , то необходимо преобразовать выражение, стоящее под знаком предела. Однако сразу использовать таблицу эквивалентности бесконечно малых нельзя поскольку
, , если . Используем свойство периодичности тригонометрических функций, получим
Выражение под знаком предела преобразовано таким образом, что и , если . Поэтому можно использовать формулы эквивалентности (21), (23), (22), (18). В результате получаем