Лекция 18 Динамика точки

18.1. Основные законы динамики.

Динамика часть теоретической механики, в которой устанавливается и изучается связь между движением материальных тел и действующими на них силами.

Различие между кинематикой и динамикой состоит в том, что в кинематике движение изучается только с геометрической стороны, независимо от сил, действующих на движущиеся тела, в динамике изучается движение в связи с действующими на тела силами.

Динамика изучается в двух разделах: динамика материальной точки и динамика системы.

В первой части изучается движение точки, как простейшего тела, размеры которого исчезающее малы, так что различиями в движении отдельных точек этого тела можно пренебречь. Во второй части изучается движение механической системы, как совокупности множества точек, которые благодаря существующим между этими точками связям не могут двигаться независимо друг от друга.

Основные задачи динамики:

1. Зная движение данной точки или системы точек, найти силы, действующие на эту точку или на эту систему;

2. Зная силы, действующие на данную точку или систему, найти движение этой точки или системы

При решении этих задач динамика устанавливает общие количественные соотношения между физическими величинами, связанными с движением материальных тел (масса, сила, количество движения, работа, энергия).

В основе классической динамики лежат законы Ньютона. Все остальные выводы динамики получаются дедуктивным путем при помощи математического анализа из этих основных законов. Изучение динамики точки начнем с изучения этих законов.

1 закон (закон инерции). Если на материальную точку не действуют никакие силы, то эта точка или находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Если обозначим силу, действующую на материальную точку через F, а скорость точки через , то закон инерции можно записать так: если . В частности скорость может быть равной нулю.

Так как сила представляет собой действие, оказываемое на данную материальную точку со стороны других тел, то, чтобы представить себе точку, поставленную в такие условия, нужно представить себе, что эта точка изолирована от воздействия на нее со стороны других окружающих тел.

Свойство материальной точки сохранять свою скорость неизменной по модулю и направлению, в частности, сохранять состояние покоя называется инерцией.

Таким образом, первый закон динамик устанавливает свойство инерции материальных тел. С другой стороны, из этого закона следует, что если точка имеет движение отличное от инерциального, т.е. прямолинейного и равномерного, то на нее действует некоторая сила.

Второй закон (закон зависимости между силой и количеством движения).

Модуль силы, действующей на материальную точку, равен произведению массы точки на модуль ее ускорения, а направление силы совпадает с направлением ускорения.

Пусть материальная точка М движется по некоторой криволинейной траектории (рис.18.1).

Рис.18.1.

Если обозначим массу точки через m, ее ускорение через , а силу, действующую на эту точку через , то согласно второму закону имеем:

(1)

Это векторное уравнение, устанавливающее зависимость между тремя величинами – силой, массой и ускорением, является основным уравнением динамики материальной точки и дает динамический способ определения модуля и направления силы.

Масса m материальной точки представляет собой скалярную величину, постоянную для данной точки в классической механике величину. Она остается неизменной при любом движении точки.

Из этого уравнения следует, что при одном и том же ускорении модуль силы пропорционален массе точки, т.е. чтобы сообщить точке данное ускорение, к ней нужно приложить тем большую силу, чем больше ее масса. Поэтому, чем больше масса точки, тем больше эта точка сопротивляется изменению ее скорости (отклонению ее движения от инерциального). Таким образом, масса является мерой инертности материальной точки.

Если это уравнение переписать в виде:

То отсюда следует, что ускорение, сообщаемое материальной точке данной силой, равно отношению этой силы к массе точки.

Из скалярного равенства следует:

Т.е. масса материальной точки равна отношению силы к ускорению, которое эта сила сообщает данной точке.

Второму закону динамики, выраженному уравнением (1) можно дать другю формулировку, установив предварительно понятие количества движения.

Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость . Количество движения всегда совпадает по направлению со скоростью движущейся точки (рис.18.1).

Известно, что . Так как масса m является постоянной величиной, то уравнение (1) можно представить в виде:

Сила, приложенная к материальной точке, равна производной от количества движения этой точки по времени.

3^ий закон (закон равенства действия и противодействия):

Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Если материальная точка А действует на точку В с силой , то точка В действует на точку А с силой , причем . Если обозначим массы точек А и В через m и m', а их ускорения через и . Согласно второму закону имеем:

и . Из равенства следует, что или .

Ускорения, которые сообщают друг другу две материальные точки А и В, по модулю обратно пропорциональны массам этих точек. Эти ускорения направлены по прямой АВ в противоположные стороны.

4^ый закон (закон независимости действия сил). Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то ускорение этой точки равно геометрической сумме тех ускорений, которые получает эта точка при действии каждой из этих сил в отдельности.

Пусть на точку, масса которой равна m, действуют силы . Обозначим ускорение точки через , а ускорения, которые имела бы точка, если бы каждая из сил действовала на нее отдельно, - через . Тогда согласно этому закону будем иметь:

На основании второго закона имеем:

, , …,

Сила , эквивалентная данным силам и называемая их равнодействующей, сообщает данной точке то же ускорение , которое получает точка при совместном действии этих сил. Следовательно:

Или

Это равенство выражает известный из статики закон сложения сил: Равнодействующая нескольких сил, приложенных к данной материальной точке, равна их геометрической сумме.

Если , т.е. точка движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя, то или на основании закона сложения сил . В этом случае система сил называется уравновешивающей системой.

Основные законы динамики применимы только в случае абсолютного движения материальной точки по отношению к абсолютной неподвижной системе отсчета. Система отсчета, для которой справедливы законы механики называется инерциальной системой отсчета. В большинстве технических задач за такую систему отсчета можно принять систему координат, связанную с Землей. В случае, когда приходится учитывать суточное вращение Земли, за инерциальную систему отсчета принимают геоцентрическую систему координат, начало которой находится в центре Земли, а оси направлены к трем выбранным «неподвижным» звездам. В астрономии пользуются гелиоцентрической системой координат, начало которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены к трем выбранным «неподвижным» звездам.