Лекция 16 Движение твердого тела вокруг неподвижной точки.

16.1. Движение свободного твердого тела в общем случае.

Пусть имеем твердое тело с одной неподвижно закрепленной точкой, вокруг которой это тело может поворачиваться. Будем называть движение такого тела с одной неподвижной точкой движением вокруг этой неподвижной точки.

Определение параметров положения в пространстве твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

Отнесем движение данного тела к неподвижной системе координат Охуz, имеющих начало в неподвижной точке О (рис.16.1)

Рис.16.1.

Кроме того, в самом теле возьмем систему неизменно связанных с ним подвижных осей Ох'у'z', имеющих начало в той же точке О. Положение данного тела в пространстве будет вполне определено, если будут известно положение подвижной системы координат Ох'у'z'. Следовательно, чтобы определить положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, достаточно определить положение неизменно связанной с ним подвижной системы осей, начало которых находится в этой неподвижной точке.

Из аналитической геометрии известно, что положение системы Ох'у'z' относительно неподвижной системы Охуz можно определить девятью направляющими косинусами подвижных осей. Но значительно проще определять положение системы Ох'у'z' относительно осей Охуz при помощи трех углов Эйлера.

Обозначим линию пересечения координат плоскостей Оху и О'х'у' через ОN и установим на ней положительное направление от О к N. Эта прямая называется линией узлов. Угол между осью Ох и линией узлов ОN обозначим через ψ. Этот угол лежит в плоскости Оху и отсчитывается от оси Ох в положительном направлении (против движения часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z) (рис.16.2)

Рис.16.2.

Угол между плоскостями Оху и О'х'у' (угол между осями z и z') обозначим через θ. Этот угол отсчитывается от оси z в направлении обратном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца линии узлов. Линия узлов ОN перпендикулярна к плоскости Оzz'.

Угол между линией узлов ОN и осью Ох' обозначим через φ. Этот угол лежит в плоскости Ох'у' и отсчитывается от линии узлов в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси z'. Три угла Эйлера ψ, θ, φ носят следующие названия:

- угол ψ – угол прецессии;

- угол θ – угол нутации;

- угол φ – угол собственного вращения.

Систему осей Охуz можно перевести в положение Ох'у'z' посредством трех вращений:

1. Поворот системы осей Охуz вокруг оси z на угол ψ (ось Ох совпадет с линией узлов ОN)

2. Поворот вокруг линии узлов ОN на угол θ (ось z совпадет с осью z')

3. Поворот вокруг оси z' на угол φ (ось Ох займет положение на оси х')

После этих преобразований система осей Охуz перейдет в положение Ох'у'z'. Отсюда следует, что положение осей Ох'у'z', а значит, и положение твердого тела, имеющего неподвижную точку О, вполне определяется тремя углами Эйлера, т.е. тремя параметрами.

Поэтому говорят, что твердое тело с одной неподвижной точкой имеет три степени свободы. При движении тела эти углы являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями времени:

, ,

Если функции , и известны, то для каждого момента времени мы сможем найти из этих уравнений значения углов Эйлера и, следовательно, будем знать положение тела в этот момент. Поэтому эти уравнения вполне определяют движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, и называются уравнениями движения твердого тела вокруг неподвижной точки.