15.1. Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным движением твердого тела называется такое движение, при котором расстояние каждой точки тела от данной неподвижной плоскости остается постоянным, т.е. такое движение при котором все точки тела движутся в плоскостях параллельных данной неподвижной плоскости.

Например, качение колеса по прямолинейному рельсу.

Изучение плоскопараллельного движения тела приводится к изучению движения плоской фигуры, т.е. сечения тела плоскостью, параллельной данной неподвижной плоскости, движущейся в своей плоскости.

Пусть имеем некоторую плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа. Отнесем это движение к неподвижной системе координат Оху. На самой фигуре возьмем неизменно связанные с ней и движущиеся вместе с ней координатные оси O'x'y'. Положение движущейся фигуры определяется положением подвижных осей O'x'y' относительно неподвижных осей Оху, т.е. положением центра подвижных осей О’ (координатами x_O_’ и y_O_’) и углом поворота подвижной системы координат относительно неподвижной, т.е. углом φ, который будем отсчитывать от оси Ох в направлении обратном движению часовой стрелки. Т.е. Движение плоской фигуры будет полностью определено, если для каждого момента времени будут известны значения x_O_’ , y_O_’ и φ. При движении плоской фигуры координаты подвижного начала x_O_’ , y_O_’ и угол φ, изменяясь со временем, являются некоторыми однозначными и непрерывными функциями t:

, , .

Если все три функции известны, то для любого момента времени можно найти соответствующие значения x_O_’ , y_O_’ и φ и определить положение движущейся фигуры. Т.е. приведенные уравнения полностью определяют движение плоской фигуры и называются уравнениями движения плоской фигуры, движущейся в своей плоскости или уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

В частном случае при постоянном угле φ, будут меняться только координаты центра подвижных осей, 4которые перемещаются параллельно начальному положению. В этом случае движение тела будет поступательным. Если координаты центра неизменны, а меняется только угол φ, то центр неподвижен, а в фигура вращается вокруг точки О’. Т.е. имеем вращаетльное движение плоской фигуры вокруг неподвижной оси, проходящей через центр О’ и перпендикулярной плоскости чертежа..

15.2. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное

Пусть данная фигура движется в плоскости чертежа (рис.15.3)

Рис.15.3.

Отнесем это движение к неподвижной системе координат Оху и, возьмем систему подвижных координат О'х'у', неизменно связанных с движением фигуры. Проведем через точку О' оси О'ξ и О'η неизменного направления, так что эти оси остаются все время параллельными неподвижным осям. Тогда система подвижных осей О'ξη, перемещаясь вместе с точкой О' фигуры в плоскости чертежа будет двигаться поступательно.

Положение движущейся фигуры по отношению к подвижным осям О'ξη определяется углом φ, т.е. углом между осями О'ξ и О'х', а движение фигуры относительно этих осей (ее относительное движение) есть вращение вокруг точки О'.

Угловая скорость в этом вращательном движении равна производной от угла φ по времени, т.е.