9. Дәрежелік орташа шамалар

Орташа шамалар дегеніміз біртектес жиынтықты белгілі бір жағдайда және уақытта өзіне тән белгілері бойынша жинақтап көрсететін орташа сан мөлшері, яғни біртектес жиынтық бірліктерінің орта есеппен алынатын белгісінің барлық бірліктерге жатқызылатын сандық шамасы.Орташа шамалар дәрежелік және құрылымдық болып бөлінеді.

Дәрежелік орташа шаманың түрлері:  Z= -1 – гармониялық орташа,  Z= 0 –  геометриялық орташа, Z= +1 – арифметикалық орташа, Z= +2 – квадраттық орташа, Z= +3 – кубтық орташа.

1)Орташа шамалардың ішінде ең кең тарағаны және көп қолданылатыны арифметикалық орташа шама болып табылады. Арифметикалық орташа шама жалпы жиынтықтағы өзгермелі белгілердің жеке мәндерінің қосындысы болғанда ғана қолданылады. Оның екі түрі бар: жай және салмақталған.

Жай түрі жиынтықта әр белгі тек бір рет кездессе немесе барлық белгілердің жиіліктері бірдей болғанда қолданылады. Оны келесі формула арқылы есептейді:

, мұндағы,

х- орташа шама; х-белгілердің жеке сандық мәндері; n-белгі саны.

Егер жиынтық белгісі бірнеше рет қайталанса, яғни жиілік бірлікткерінің саны берілген болса, онда салмақталған түрі қолданылады. Ол келесі формуламен өрнектеледі:

, мұндағы f-жиіліктің мәндері.

Егер статистикалық топтық қатардың белгілері бүтін емес, деңгей аралықты шамамен берілсе, алдымен деңгей аралығының ортасын тауып алу керек. Оны деңгей аралығының жоғарғы және төменгі мәнін қосып, екіге бөлу арқылы табады. (мысалы, 42-44 аралығының ортасы 42+44/2=43).

2)Үйлесімдік орташа шама – бұл арифметикалық орташа шаманың кері және өзгертілген түрі. Үйлесімдік орташа шама орташаның негізгі қатынасының алымының мәндері белгілі , бөлімінің мәндері белгісіз болғанда қолданылады. Ол мәліметтердің маңызы мен мәніне , есептеу тәсіліне қарай жай және салмақталған болып бөлінеді. Егер өзгермелі қатардың белгілері мен жиіліктерінің көбейтіндісі бірдей болса немесе бірге тең болса, онда жай түрі қолданылады және келесі формуламен есептеледі:

, мұндағы n-белгілер саны; 1/х- белгінің жеке сандық мәндерінің кері шамасы.

Егер жиілік мәндері берілмей , белгілердің мәндері мен жиіліктерінің көбейтіндісі ғана берілсе , онда салмақталған түрі қолданылады және келесі формуламен есептеледі:

, мұндағы,

х- белгілердің жеке сандық мәндері;

хf/x- жиіліктің жалпы санын есептеу.}

10. Құрылымдық орташа шамалар. Мода мен медиана

Орташа шамалар дегеніміз біртектес жиынтықты белгілі бір жағдайда және уақытта өзіне тән белгілері бойынша жинақтап көрсететін орташа сан мөлшері, яғни біртектес жиынтық бірліктерінің орта есеппен алынатын белгісінің барлық бірліктерге жатқызылатын сандық шамасы.Орташа шамалар дәрежелік және құрылымдық болып бөлінеді

Статистикада қорытындылаушы көрсеткіштермен қатар өзгермелі белгілердің бөлінуін қосымша сипаттайтын құрылымдық орта шамалар да қолданылады. Оған мода мен медиана,квартиль, дециль,квинтиль,перцинтиль жатады.

Мода дегеніміз статистикалық қатарлардың ішінде ең жиі кездесетін белгінің үлкен шамасы, яғни өзгермелі сандық қатарда жиіліктің үлкен мәні жатқан белгі.

Егер статистикалық қатардың белгісі бүтін санмен берілсе , сол берілген белгінің ең үлкен жиілік мәні жатқан қатар мода болып саналады.

Егер статистикалық қатарлар белгілерінің ең үлкен жиілік мәні бірдей екі сандық көрсеткішпен берілсе, онда модалық белгі екеу болады. Ал жиілік мәндері бірдей бірнеше белгі берілетін болса , онда модалық көрсеткіш болмайды.

Қатар белгілері деңгей аралықты шамамен берілсе, онда еңбірінші ең үлкен жиілігі бар қатар анықталады, одан кейін модалық белгінің деңгей аралығының айырмасы есептеледі, ол модалық қатардың үлкен мәнінен кіші мәнін алғанға тең болады.

Статистикада мода Мо -әрпімен белгіленеді және деңгей аралықты қатар берілген болса, келесі формуламен анықталады:

f Mo –fMo-1

Mo=XMo+dMo ---------------------------------------------- ,мұндағы,

( f Mo –fMo-1 )+( f Mo –fMo+1 )

XMo- модалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні;

dMo –модалық қатардың деңгей аралығының айырмасы;

f Mo –модалық қатардың жиілігі;

fMo-1—модалық қатардың алдыңғы қатар жиілігі;

fMo+1- модалық қатардан кейінгі қатар жиілігі.

Медиана дегеніміз статистикалық қатардың ортасында жатқан белгі. Ол қатарды тең етіп екіге бөледі және оның екі жағындағы белгілердің сандық бірліктері бірдей болады.

Медиана статистикада Ме- әрпімен белгіленеді. Егер қатардың белгісі бүтін санмен берілсе, медиананы анықтау үшін белгінің рет санына бірді қосып, шыққан қосындыны екіге бөлеміз, ол келесі формуламен анықталады:

,мұндағы, n-қатар саны

Егер қатар белгісі бүтін санмен және жиілікпен берілсе, медиананы есептеу үшін жиіліктің жинақталған қосындысын тең екіге бөліп, шыққан көрсеткішке ½-ді қосамыз.

f Me 1

Me= ------------ + -----.

2 2

Егер қатар белгісі деңгей аралықты шамамен берілсе, онда алдымен медианалық қатарды анықтаймыз. Ол үшін әрбір жиілікке келесісін қоса отырып, жинақталған жиілік қосындысын есептейміз.

Деңгей аралықты қатардан медиананы есептеу үшін келесі формула қолданылады:

,мұндағы,

XMе- медианалық қатардың деңгей аралығының кіші мәні;

dMе –медианалық қатардың деңгей аралығының айырмасы;

S –медианалық қатардың қосындысы;

S Mе-1—медианалық қатардың алдыңғы қатардағы жинақталған жиілік қосындысы.

11.Өзгерме көрсеткіштері және олардың есептеу тәсілдері.

Қоғамдық құбылыстар мен процестерді зерттеу кезінде орташаь шамалар қорытынды көрсеткіш ретінде жалпы жиынтықты өзгермелі белгелері бойынша барлығыны ортақ сандық шамамен сипаттайды. Себебі жиынтықты жеке белгілеріне әр түрлі жағдайлар әсер еткен сайын олардың арасында өзгеріс туады , яғни улкенді кішілі ауытқулар болады.

Демек , екі таратпалы қатардың орташа шамалары бірдей болса , онда олардың әрқайсысының ішкі құрылымдағы белгілер арасында да түрлі өзгерістер мен ауытқулар болады. Егер қатар белгілердің жеке мәндерінің бір бірінен аздаған ғана өзгерістері болатын болса , онда орташа шама сол жиынтықтар үшін дұрыс деп саналады. Егер қатар белгілердің жеке мәндері бір бірінен көптеген өзгерістермен , яғни ауытқулармен ерекшеленсе , онда есептелген орташа шаманың тәжірибелік мәні болмайды. Мысалы екі бригаданың жеті күн ішінде өндірген өнімдерінің мөлшері төмендегідей :

Бірінші бригада : 4,6,5, 4, 5, 5, 6 барлығы =35

Екінші бригада 1, 2, 2, 2, 7, 10, 11 барлығы =35

Екі бригада да өндірген отраша өнім көлемі бірдей , яғни 35ке тең бірақ , бірінші бригада бірқалыпты , ал екінші бригада секірмелі түрде өнім өндірген.

Статистикалық өзгерме деп жиынтық бірліктерінің белгілеріне түрлі себептердің әсер етуінен болған сандық өзгерісті айтады. Сонымен қатар мұны бір белгінің сан мөлшерінің өзгермелілілгі , құбылмалығы деп айтуға да болады.

Статистикалық зерттеуде және күнделікті тәжірибеде экономикалық белгілер көрсеткіші өндірілген өнімнің құны саны мен сапасы , еңбек өнімділігінің артуы немесе кему жұмысшылардың орташа айлық еңбекақысы , олардың жұмыс стажы , халықтың жастық және жұмыстық құрамдары сияқты көптеген құбылыстар ешуақытта тұрақты болмайды. Сондықтан бұл көрсеткіштер жүйесінің ауытқы шамасының қаншалықты екендігін анықтау ушін өзгерменің негізгі көрсеткіштері есептеледі. Олар, мыналар: өзгерменің өрісі, орташа сызықтық ауытку, шашырандылық дисперсия, орташа шаршылық ауытқу және өзгерменің коэфиценті.

Өзгерменің өрісі деп сандық қатар белгілерінің ең улкен және ең кіші мән шамаларының арасындағы айырмашылықты айтады.

R=Xmax - Xmin

Орташа сызықтық ауытқу деп әрбір белгінің жеке мәнімен арифметикалық орташа шаманы алып одан шыққан

Статистикада орташа сызықтық ауытқу d әрпімен белгіленеді және ол мына формуламен есептеледі.

d=

шашыранды немесе дисперсия деп әрбір қатардағы белгінің жеке мәнінен арифметикалық орташа шаманы алғандағы айырмалады екі есе дәрежелеп және бір біріне қосып , одан шыққан ауытқу қосындыны белгі санына немес дәрежеленген ауытқу көрсеткіштері жиіліктеріне көбейтіп , оның қосындысын сол жиіліктің жалпы жиынтығына бөлгеннен шыққан бөліндіні айтады.

Қысқарған түрде: орташа сызықтық ауытқудың алымындағы жақша ішіндегі көрсеткіштерді дәрежелеу.

Статистикада дисперсия әрпімен белгіленеді.

= жай турі

= салмақталған турі

Орташа шаршылық ауытқу деп шашыранды көрсеткіштерін тубірлеуді айтады. Оны сигма әрпімен белгілейді және төменде берілген формула бойынша есептейді:

= =

Өзгерме коэфиценті дегеніміз орташа шаршы ауытқу көрсеткішін арифметикалық орташа шамаға кіші мәнді бөлу. Статистикада ол латынның V әрпімен белгіленеді және мына формула бойынша есептелінеді:

V= *100.