стат.физ.шпор

1. Табиғаттағы макроскоптық денелер өте ұсақ микробөлшектердің аса үлкен жиынтығынан тұрады. Мысалы, нормалы күйдегі ауаның 1 см³ көлемінде - на жуық молекулалар бар. Микробөлшектердің қозғалыс заңдылықтарын шындығында тек кванттық жолмен қарастыру керек. Ілгерілемелі қозғалысты классикалық механика шеңберінде сипаттау жеткілікті. Өйткені молекулалардың де-Бройль толқын ұзындығы аз шама. Ең жеңіл сутегі молекуласы үшін оның де-Бройльдік ұзындығы шамасында. Біз бұл параграфта ең алдымен молекулалардың осындай ілгерілемелі қозғалысын қарастыратын боламыз. Олай болса, молекулаларды материалдық нүкте ретінде алып, оларды әр уақыт моментінде алты еркіндік дәрежемен сипаттап отырамыз. Олар үшін радиус-вектор мен импульстың құраушыла алуға болар еді. Бірақ осы 6 еркіндік дәрежелер ретінде үш жалпыланған координаталар -мен үш жалпыланған импульс–ді алып жұмыс жүргіземіз.

Осы өзгерістерді классикалық физикада Гамильтон теңдеулер жиынтығымен өрнектеуге болады:

, , Бұл теңдеулердегі Н- Гамильтон функциясы жүйенің толық энергиясын бөлшектердің жалпыланған координатары мен жалпыланған импульстері арқылы өрнектейді:

Декарт координатында: (1.1.3) Потенциялды энергиясы осы (1.1.3) формуламен анықталатын жүйені статистикалық физикада идеал газ деп атайды.

2. Егер тепе-теңдік күйдегі жүйе өзінің N-түрлі күйінің бірінде болса, онда оның E_i энергиясы бар і- күйінеде тұру ықтималдығы: W(E_i)= 1/Z^.e^-E_i/^ktΩ(E_i)-ға тең. Канондық үлестіру тұрақты температурасы Т термостаттағы түрлі өзгермелі сыртқы параметрлері бар жүйені сипаттайды. Кез келген бір физикалық шаманың канондық үлестіру бойынша орташасы: Ḹ= ΣW_iL_i.

Классикалық жүйенің энергиясының орташа мәні: U=Ē= Термодинамикалық шамалардың арасындағы түрлі байланыстарды біле отырып, статистикалық физика теңдеулерін қолданып басқа жүйе сипаттамаларын табу үшін бір немесе екі ғана термодинамикалық функцияларды анықтаған жеткілікті. Мысалы, жүйенің энтропиясын табу үшін белгілі Больцман формуласын пайдаланып, жүйенің температурасы мен сыртқы параметрлерін тұрақты ұстап, оны жүйе энергиясы бойынша орташалау керек:

S=k=k; Ē ≈ E_e.ы

Сондықтан: S ≈ klnΩ(Ē) = klnΩ(U). Макрожүйеоер үшін термодинамика шамаларының осындай жуықтауы қазіргі заманғы тәжірибеде алынған олардың дәлдігінен жоғары. Енді, осы статистикалық әдіс бойынша тәжірибеде өлшенетін барлық термодинамикалық макро шамалардың бәрін тек статистикалық қосынды арқылы өрнектелетінін көрсетелік. Ол үшін стат.қосынды логарифмінен туынды аламыз: . Осы теңдікті пайдаланып жүйенің ішкі энергиясы:U=. Z ≈ . Ω(U) ≈ Z. Энтропия: S=. Бос энергия: F= U- TS= -kTlnZ. Жалпыланған күштерде арқылы өрнектеледі: Λ=- ()_T = kTlnZ.

3. Біз макрожүйеміз молекула-атом. ДНК РНК да 10 мың молекула. Сн қоспада тұрады. Гигантские молекулы.

N-Бөлшектер саны,V-көлем, T-температурасы

V,T,N-const болса да v жылдамдық әр бөлшектің әртүрлі болады. Қаншасы қандай жылдамдықпен жылжиды дегенді білдіреді орта есеппен бөлшектерді үлестірілуі (энергияның) бойынша орналасуы ең алғаш тапқан- Гиббс

Макрожуйенің микрокуйлерін классикалық жолмен есептеу.

Микрокуйлерді классикалық жолмен сипаттау ушін фазалық кеңістік уғымын енгізу керек. 6N өлшемі бар мундай макрожуйені математикалық жолмен сипаттау ушін жалпыланған координаттар мен жалпыланған импульстерден құралған 6N координаты (q,p) бар әр нуктесіжуйенің белгілі бір микрокуйін кескіндейді.

1 бөлшек қаңғырып жүр. Егер бөлшектің энергиясы 0 мен Е шамалары арасында жатса. Ол E, Е+dE- dg

Бір принциппен анықтауға болады- ең аз әсер принцип.

q,p- жалпыланған координат пен импульс бөлшектің q_x, q_y,q_z,q_x,q_y,q_z в параметрлермен сипат болады.dg~dq₁dq₂dq₃, dp₁,dp_2,dp₃-ке пропорционал . =P²/2m; P=; g=∫∫dpdq; g=v. Сфералық координат: g классикалық жолмен караганда ; , Г-микроболшек саны, стат.салмагы

барлык болшектердин суммасы: dГ=

Осы айтылган жеке болшек ушін және макрожүйе ушін Г шамаларына сәйкес келетін фазалық көлемдер жеке бөлшектер мен макрожүйедегі макрокуйлер мөлшері. Мұндай макрокуйлер мөлшерін берілген жуйенің статистикалық салмағы деп атайд

4. Өрістердің кванттық теориясында табиғаттың өте маңызды бір заңы дәлелденеді. Ол заң бөлшектердің спинін статистиканың түрімен байланыстырады. Фермиондар Ферми-Дирак стстистикасына, бозондар – Бозе-Энштейн статистикасына бағынады. Гиббстің канондық үлестіруін пайдаланып, осы кванттық үлестіруді жеке молекулаларға қолдана беруге болатынын көрдік. Алмаса әсерлесудің себебінен жеке бозонға Гиббс үлестіруін тікелей қолдануға мүмкіндік жоқ. Бірдей бозондар үшін ең кіші ішкі жүйе ретінде бір күйге орналасқан барлық бозондар жиынтығын алуға тура келеді.Оның үстіне кванттық үлестірулерді табу үшін қарастыратын ішкі жүйеміз термостатпен энергиямен ғана емес, бөлшек санымен де алмасып отыратынын еске алып, -күйге орналасатын бөлшектердің орташа санын есептеп табайық. Ол үшін Гиббстің үлкен канондық үлестіруін пайдаланамыз.Оны -күйінде тұрған газ атомдарына қолданаымыз. Газдың басқа бөлігіндегі көпшілік атомдар термостат рөлін атқарады. Берілген ішкі жүйенің бөлшегі, энергияның мәнін алу ықтималдығы:

Бозондар үшін (5.1.2) формуласында шексіз мүшесі бар қатар аламыз. Ол қатар геометриялық прогрессия екенін де көріп отырмыз. Қатардың қосындысын табайық.

Бұдан:

Мұндай деңгей бірнеше рет айныған болуы мүмкін, яғни энергетикалық деңгейінің статистикалық салмағы -ға тең. Олай болса, осындай айныған деңгейлерде орналасқан бөлшектер толық санын былайша табамыз: .

Мұндағы «+» Ферми үлестіруіне «–» Бозе үлестіруіне сәйкес. -энергиясы мен -ның арасында жатқан бір бөлшектің кванттық күйлер саны. Бұл жерде энергетикалық деңгейлер өте тығыз орналасқан, сондықтан энергияның өзгерісі үздіксіз деуге болады. Сөйтіп бозондар мен фермиондар қасиеттеріндегі айырмашылық сонша, олар түрліше статистикаға бағынады. Бұл статистикалардың негізгі айырмашылығы - бөлшектердің кванттық күйлері арасындағы үлесу заңы.

5. Егер спині жоқ бірдей молекулалардан құралған газды қарастырсақ, оның микрокүйлер санын Ω= формуласымен есептедік. Бірақ бұл жерде бөлшектердің өзара бірдейлігін, тепе-теңдігін ескерк керек. Газдың берілген микрокүйі әр молекуланың кванттық күйлерінің жиынтығымен анықталады. Мысалы, бір микрокүйді: 1α_1, 2α_2, …Nα_N өрнегімен белгілейік. Мұндағы цифрлар бөлшектерді белгілесе, α_i- индекстері олардың кванттық күйлерін береді. Кванттық теория бойынша әр молекула әр күйде орналасқан. Онда индекстердің әрбір (α_1, α_2, … α_N) осындай жиынтығы газдың бір микрокүйін анықтайды. Барлық N осындай жиынтықтардың ішінде бірдей күйді анықтайтындары да өте көп. Мысалы, екі бірдей бөлшекті орын ауыстырудан туған жаңа күйдің алғашқы күйден кванттық теория бойынша айырмасы жоқ. Оларды микрокүй санынан шығарып тастау керек. Барлық бөлшектерден құралған макрожүйенің ішіндегі екі бөлшекті орын ауыстырудан туған жаңа осындай алғашқы күймен бірдей күй саны N! есе көп болады. Сонда қарастырып отырған газдың толық күй санын анықтайтын өрнекті N! бөлуге тиіспіз, яғни: Ω= . Сонымен бірге алдынғы өрнекті: dΩ= қатысымен ауыстыру керек. Статистикалық теорияда бір бөлшекке арналған фазалық кеңістікті μ– кеңістік деп, ал N бөлшегі бар макрожүйеге арналған фазалық кеңістікті Г- кеңістік деп атайды. Сондықтан фазалық Г-кеңістіктің элементар көлемі:dГ= сол көлемге сәйкес келетін кванттық күйлер саны мен осы теңдігі арқылы байланысады.

6. Макрожүйенің түрлі микрокүйлерінің жасалу ықималдығы түрліше болатынын, ең ықтимал күй тепе-теңдік күйі екенін айттық. Берілген жүйені сипаттайтын физикалық шамалар мәндерінің ықтималдығы осы күйдің жасалу ықтималдығы арқылы анықталуы тиіс.Макрожүйе өзінің берілген микрокүйінде болу ықтималдығын табу үшін жүйе барлық микрокүйлерде болуының толық Т уақытының –бөлігін осы күйде өткізеді дейік. Бұл уақыт ішінде макрожүйе күйіне бірнеше рет қайталап келіп отырады деп есепейміз. Сонда күйдің болу ықтималдығы:

-ге тең. Гиббс күйлердің статистикалық ансамбль ұғымын енгізеді. Макрожүйенің әр микрокүйіне бөлшегі бар бір ансамбльді сәйкестендіреді. Сөйтіп бірғана макрожүйе орнына көп ансамблдер жүйелері жиынтығын қарастырады. Жүйенің микрокүйіне сәйкес келетін микрокүй санын ансамбль деп атайды. Ансамбльдердің толық жиынтығы жүйеде болатын барлық микрокүйлер саны. Ал жүйенің –күйіне сәйкес келетін жүйе ансамблдер саны. Сонда жүйенің – күйде болу ықтималдығын:

Мұндағы –фазалық нүктенің фазалық элементар көлемде болу уақыты, фазалық координаттары мен және мен –ның аралығындағы статистикалық ансамбль мүшелерінің саны.

Ықималдылықтың тығыздығы деген ұғым енгізсек, онда

Функция :

әлсіз әсерлесетін ішкі жүйелердің әрқайсысын басқа жүйелермен байланысы жоқ жеке макрожүйе деп есептейді. Олай болса, үлкен жүйенің берілген күйінің ықтималдығы ішкі жүйелер күйлерінің:

Жалпы алғанда статистикалық физика көптеген өзара байланыссыз ішкі жүйеден тұратын жүйелерді қарастырады.

7. Егер тұйық жүйе өзінің стационарлы күйінде тұрса, онда оның әр күйі белгілі бір энергия -мен анықталады, ол күйді толқындық функциямен өрнектейді. Бұл шамалар квант механикасында Шредингер теңдеуімен анықталады:

мұндағы Гамильтониан: -жүйенің - бөлшегінің координаттары арқылы жазылатын Лаплас операторы. Потенциал операторы классикалық физика заңдылықтары арқылы анықталатын потенциал энергиясымен дәл өрнектеледі.

Бұл функциялардың әрқайсысын жеке бөлшектер үшін жазылған Шредингер теңдеулерінен табуға болады:

Мұндағы –жеке бөлшектердің орналасқан кванттық күйлерін сипаттайтын кванттық сандар жиынығы. Толық жүйе үшін . Сонымен бірге жүйенің толық энергиясы барлық бөлшектер энергиясының:

(1.1.13)

қосындысына тең.

Макрожуйедегі кванттық микрокуйлер мөлшерін есептеу.

D-N болшектин стат.салмагы

Микрокуйдин микроболшектин стат.салмагын – стат.салмак дейди

Потенциал бірөлшемді деп есептейік

I,II ушин

V=

Шредингер тендеуі

Шекаралык шарттар:

1)=0

2)=0

+

A,Bны табу ушин шекаралык шарттарды пайдалану

1)В=0 2) ka=, n=0,1,2….

Ка=,

Кв.бөлшек энергияның дискретті мәндерін алады:

III -өлшемге көшсек формула осылай болады. n-ның бәрі оң болуы керек, терісі керек емес. Сфераны 8 бөлікке бөлеміз, бірақ 1/8 бөлігі ғана керек бізге кв.бөлшек ушін стат.салмақ

; ; ; ;

8. Гиббстің классикалык канондык улестируин идеал газга колдансак, Максвелл-Больцман улестируи шыгады.Бул улестиру жеке болшектердин координаттары мен импульстери бойынша физ шамалардын ыктималдыктар функциясы б.т.Оны тек бир атомды идеал газдарга гана колдануга болады.М-Б улестируин берилген жуйенин ишки бир болиги ретинде жеке молекулаларга да колдануга болады.Ойткени идеал газдын молекулалар арасында потенциалды асерлесу жок.Сондыктан газдын толык энергиясы молекулалар энергияларынын косындысына тен.Арбир молекуланын куй спектри газдын баска болшектеринин козгалыс куйимен байланысы жок.Мундай квазибайланыссыз газ боликтери-молекулалардын аркайсысына канондык улестируди пайдалануымыз орынды деп есептеймиз.Бул жерде идеал газ сырткы бир ористе орналаскан деп есептейтин жалпы жагдайды карастырайык.Бир болшектин сондагы энергиясы:-га тен, -молекуланын сырткы ористеги потенциалды энергиясы.Бир молекула ушин канондык улестируди молекула координаталары мен импульс проекциялары аркылы жазылган ыктималдыгын: деп аныктаймыз.М-Б улестируи озара байланысы жок еки улестирудин кобейтиндиси туринде жазылады: . Максвелл улестируи млекулалардын тек илгерилемели козгалысын сипаттайтындыктан,ол универсал формула,болшектердин турине де байланысы жок.

9. Микрокуйлердин молшерин аныктаудын онай жане жуыктау адиси бар.Оны жасаудын жолын корсету ушин алдымен , форм-нын уксастыгына конил аударайык.Энергиясы мен -нин арасында жаткан бир болшектин микрокуйлеринин молшерине сайкес келетин классикалык фазалык кенистиктин колеми dg мен сол болшектин кванттык куйлер санынын арасында: пропорционалдык бар.Егер бул формуланы f еркиндик дарежеси бар кезкелген жуйе ушин жалпы турге енгизсек,онда жуйенин кванттык микрокуй молшери мен оган сайкес келетин классикалык фазалык кенистик колеми -нын арасында да уксас катыс бар екенин коремиз: . Бул еки катыстын ен бастан-ак микрофизикалык негизи бар екенин корсетуге болады.Ол форм-ды бирден кв физиканын аныкталмагандык катынасынан тикелей алуга болады.Квант механикасында болшектин кенистик координаты мен оган туйиндес импульси -дин мандерин бир уакытта беруге болмайды.Микрообъектиси ушин бул шамалардын манин тек далдиктеримен гана бирден беруге болады.Солардын арасындагы аныкталмагандык далдиктери: (1) Гейзенберг катынасы аркылы орнектеледи.Сондыктан бир кванттык куйге классикалык физикадагы бир фазалык нуктени сайкестендируге болмайды.Макрожуйенин бир кв куйине фазалык кенистикте колеми гана сайкес келеди.Ал ол колем: аныкталмагандык кобейтиндисине тен.

10. Больцман үлестіруі — молекулалары сыртқы потенциалдық өрісте классикалық механика зандары бойынша қозғалатын идеалгаз бөлшектерінің импульс және координата бойынша үлестіруі. 1871 жылы аустриялық физик Больцман Людвиг таныстырған. Біркелкі өрістегі бөлшектерді қарастырайық. Осындай өрісте идеал газдың әр молекуласында толық энергия болады

, мұндағы  — оның ілгерілеу қозғалысының кинетикалық энергиясы поступательного, ал  — оның орналасуына байланысты сыртқы өрістегі потенциалдық энергиясы. Осы энергия өрнегін идеал газ үшін Гиббс үлестірілуіне қояйық  (мұндағы  — бөлшектің координаты  және импульстары ,  интервалында болатындай күйде болу ықтималдығы)

табатынымыз: ,мұндағы күйлер интегралы мынаған тең:

интегралдау айнымалылардың барлық мүмкін мәндерімен есептеледі. Әрі қарай күйлер интегралын мына түрде жазуға болады: сонда бірге келтірілген Гиббс үлестірілуі газ молекуласы үшін сыртқы өрісте былай болады:

.

Молекула белгілі бір көлем элементінде берілген импульсы болуын сипаттайтын осы қорытылған ықтималдықтар үлестірілімі Максвелл — Больцман үлестірілуі деп аталады.

11. Макрожуйенин турли микрокуйлери жасалу ыктималдылыгы турлише болып,ен ыктимал куй тепе-тендик куйи.Берилген жуйени сипаттайтын физ шамалар мандеринин ыктималдыгы осы куйдин жасалу ыктималдыгы аркылы аныкталуы тиіс.Макрожуйе озінің берілген микрокүйінде болу ыктималдыгын табу ушин жуйе барлык микрокуйлерде болуынын толык Т уакытынын болигин осы i-куйде откизеди дейик.Бул уакыт ишинде макрожуйе i-куйине бирнеше рет кайталап келип отырады деп есептеймиз.Сонда i-куйдин болу ыктималдыгы: (1)-ге тен.Осындай куйлердин жиынтыгы жуйе куйлеринин ыктималдыгынын улестируин курайды.Жуйени сипаттайтын L физ шаманын осы i-куйге сайкес келетин мани болсын.Сонда (1) катыс L шамалардын ар микрокуйдеги мандери ыктималдыгынын улесу зандылыгын аныктайды.

12. Газ куйинин тендеуи жеткиликти далдикпен коп жагдайларда реал газдарга жии колд-ды.бирак булл жуыктау коп жерде жаксы корытынды бере бермейди.реал газдар молекулаларынын асерлесуин есепке алмай коптеген табиги жуйелердин касиеттерин тусину мумкин емес.маселени дурыс шешу жолында коптеген жуыктаулар жасауга тура келеди.ен алдымен газды едауир сиретилген деп есептейди.молекулалардын уштен,торттен т.с.с. соктыгысуы оте сирек,есепке алынатын тек косарлана асерлесу гана калады деген болжам жасаймыз.Барлык киындык-бул жердегт конфигурациялык интегралды шыгаруда.сонымен бирге ол асерлесуди атомдардын аракашыктыгына гана байланысты етип алуды есте тутайык:. -функциясы барлык кос атом ушин бирдей,ол кисыктын жуыктау кориниси 6.1.сур корс-ген.d-нуктеси шамамен еки атомнын радиустеринин косындысы.егер r<d болса,онда атомдардын электрондар кабыкшасы бир-бирине енип,тебу куши улгая береди,сойтип,озара одан арии жакындасуга мумкиндик бермейди.ал, r<d болганда керисинше еки атом тартысып бирин-бири жибермеуге тырысады.бирак ол тартысу куши тез алсиреп r>d болганда нолге айналады.-нын мәні шамамен -ға тең. Осы кезге дейин W(r) ф-нын матем тури белгисиз.практикалык есептеулерде W(r) ф-нын матем орнеги ретинде эмпирикалык турли форм-ды алады.онын ишинде ен кобирек колданатын потенциал Ленард-Джонстын фор-сы: . кей кезде Морзе ф-сы: мундагы -потенциал шункырынын терендиги, -эксперимент б-ша тандап алынган турактылар.

13. Статистикалык улестиру функциясы статистикалык маселелерде иргели рол аткаратынын бурын айттык.осы ф-нын матем турин табу ушин оны сипаттайтын орнектин мазмундык шекарасын аныктайтын бир-еки жагдайга токталайык.стат физ-нын негизги зандылыктары карастырып отрган жуйенин кандай болшектерден туратынына,олардын касиеттерине,калайша озара асерлесетиндигинее,болшектердин козгалысын кванттык не классикалык жолмен сипаттауымызга байланысы жок деп есептеуимизге болады.Өйткені оте көп бөлшектен туратын улкен жуйе айрыкша стат зандылыктарга гана багынады.егер жуйе туйык не квази туйык болса,онда сырткы ортанын жуйе болшектерине асерин жок деп есептеп жуйени сипаттайтын гамильтонианды уакытка байл жок деп есептеуге болады.олай болса,жалпыланган жылдамдыктар Гамильтон тендеуине багынады.сонда . Ал (1)гамильтон тендеулеринен мына тендиктерди аламыз: =- одан Луивилл тендеуи шығады: сойтип улестиру функциясы фазалық кеністиктегі динамикалық траектория бойында туракты куйинде калатынын коремиз.осы кагида Луивилл теоремасынын мазмунын береди.Луивилл теоремасынын роли макрожуйе куйлеринин уакыт бойынша эволюциясы уши ноте зор.сондыктан улестиру функциясы Г-кенистиктин ар нуктесинде туракты,. Онда Луивилл теоремасын деп жазамыз.