- •3.1 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •3.1 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области
- •Порядок выполнения работы:
- •Литература
- •1 Hахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области
- •1.1 Теоретическое введение
- •1.2 Содержание типового расчета
- •1.3 Пример выполнения типового расчета
- •1.4 Оформление отчета
- •3.3 Функции нескольких переменных, приложения градиента
- •3 Функции нескольких переменных. Приложения градиента
- •3.1 Теоретическое введение
- •3.1.1 Производная по направлению и градиент
- •3.2 Содержание типового расчета
- •3.3 Пример выполнения типового расчета
- •3.4 Оформление отчета
- •3.3 Применение градиента Порядок выполнения работы:
- •4.2 Содержание типового расчета
- •4.3 Пример выполнения типового расчета
- •3 Приложения двойных интегралов
- •3.1 Теоретическое введение
- •3.1.1 Вычисление площади и массы плоской пластины
- •3.1.2 Статические моменты. Центр масс плоской пластины
- •3.2 Содержание типового расчета
- •3.3 Порядок выполнения типового расчета
- •3.4 Примеры выполнения типового расчета
- •3.5 Оформление отчета в отчете должны быть представлены все выполненные расчеты, аккуратно выполненные чертежи. Численные ответы должны быть получен5.4 Приложения тройных интегралов
- •4 Приложения тройных интегралов
- •4.1 Теоретическое введение
- •4.1.1 Вычисление площади и массы пространственного тела
- •4.1.2 Статические моменты. Центр масс пространственного тела
- •4.1.3 Момент инерции пространственного тела
- •4.2 Содержание типового расчета
- •4.3 Порядок выполнения типового расчета
- •4.4 Пример выполнения типового расчета
- •4.5 Оформление отчета
4.2 Содержание типового расчета
Исследовать функцию двух переменных на экстремум: z = Ax3 + Bx2y + Cxy2+ Dy3 + Ex+ Fy + G.
4.3 Пример выполнения типового расчета
Исследовать на экстремум функцию z = – 5x3 – 4x2y + xy2 – 3y3 + 27x + 36y + 4. Решение. Найдём частные производные первого порядка zx' (x, y) = – 15x2 – 8xy + y2 + 27; zy' (x, y) = – 4x2 + 2xy – 9y2 + 36. Для нахождения стационарных точек нужно решить систему уравнений Левые части уравнений системы являются однородными многочленами второго порядка относительно x и y(каждое слагаемое имеет второй порядок относительно x и y). Чтобы решить систему умножим каждое из уравнений на такое число, чтобы при сложении уравнений друг с другом свободный член обращался в нуль. Для этого первое уравнение умножим на – 4, а второе на 3. Складывая уравнения, получим 48x2 + 38xy – 31y2 = 0. Замечаем, что y = 0 не является решением исходной системы уравнений, поэтому можно обе части полученного уравнения поделить на y2 и ввести новое переменное 48t2 + 38t – 31 = 0. Полученное квадратное уравнение имеет корни . 1) Пусть или , y = 2x. Подставим в первое уравнение системы, получим –15x2 – 16x2 + 4x2 = –27; –27x2 = –27; x2 = 1; x = ±1. Получили две точки M1(1; 2) и M2(–1; –2). 2) Теперь рассмотрим или . Снова подставляем в первое уравнение системы : Умножим обе части уравнения на 312 и вынесем в левой части уравнения x2 за скобки (–15 · 312 + 8 · 24 · 31 + 242 ) x2 = –27 · 312 Проведя расчёт, получим –7887x2 = –25947, x2 ≈ 3,29, x ≈ ±1,81. Учитывая, что получаем ещё две стационарные точки M3(1,81; –1,40), M4(–1,81; 1,40). Найдём частные производные второго порядка Определим знак Δ = AC – B2 в каждой из стационарных точек 1) Точка M1(1; 2). A = (–30x – 8y)|M1 = – 46; C = (2x – 18y)|M1 = – 34; B = (–8x + 2y)|M1 = – 4; Δ = (– 46)·(–34) – (– 4)2 = 1548 > 0. Так как Δ > 0, то в точке M1 существует экстремум. Поскольку A = – 46 < 0, то M1(1; 2) - точка максимума. 2) Точка M2(–1; –2). A = (–30x – 8y)|M2 = 46; C = (2x – 18y)|M2 = 34; B = (–8x + 2y)|M2 = 4; Δ = 46·34 – 42 = 1548 > 0. В точке M2 также Δ > 0, т.е. существует экстремум. Однако здесь A = 46 > 0, поэтому M2(–1; –2) - точка минимума. 3) Точка M3(1,81; –1,40). A = (–30x – 8y)|M3 = – 43,1; C = (2x – 18y)|M3 = 28,82; B = (–8x + 2y)|M3 = 17,28; Δ = – 43,1·28,82 – 17,282 < 0. Так как Δ < 0, то в точке M3 экстремума нет. 4) Точка M4(–1,81; 1,40). A = (–30x – 8y)|M4 = 43,1; C = (2x – 18y)|M4 = – 28,82; B = (–8x + 2y)|M4 = – 17,28; Δ = 43,1·(–28,82) – (–17,28)2 < 0. Экстремума в точке M4 нет. Вычислим значения исследуемой функции в точках экстремума M1(1; 2) и M2(–1; –2) zmax(M1) = zmax(1; 2) = 70; zmin(M2) = zmin(–1; –2) = – 62. Ответ:
№ |
x |
y |
экстремум |
z |
1 |
1 |
2 |
максимум |
70 |
2 |
–1 |
–2 |
минимум |
–62 |
3 |
1,81 |
–1,40 |
экстремума нет |
– |
4 |
–1,81 |
1,40 |
экстремума нет |
– |
4.4 Оформление отчета
В отчете необходимо привести все проделанные выкладки. В ответе записать координаты всех найденных критических точек. Для каждой точки записать результат проведенного исследования: есть ли там экстремум или нет, если есть, то какой – максимум или минимум. Если в критической точке существует экстремум, необходимо вычислить значение функции в этой точке. Результаты исследования свести в таблицу, как показано в примере. В ответе все расчетные величины записать в десят5.3 Приложения двойных интегралов
Плоская область D ограничена линиями, указанными в условии задачи. Г(x,y) - поверхностная плотность области D. Для этой области требуется найти: 1. S - площадь; 2. M - массу; 3. My, Mx - статические моменты относительно осей Oy и Ox соответственно; 4. xc, yc - координаты центра масс.
Типовой расчет состоит из двух задач.
Задача 1. Границы области D: y = x 2 − x , y = x Поверхностная плотность этой области задана функцией Γ ( x , y ) = 7
Задача 2. Границы области D: x 2 + y 2 = 5 x , x 2 + y 2 = 3 x , y = − x , ( y ≥ − x ) Поверхностная плотность этой области задана функцией Γ ( x , y ) = 7 x 2 + y 2
ичных дробях с тремя значащими цифрами.