3.1 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y) в ограниченной замкнутой области D, ограниченной неравенствами.

1. Без использования метода Лагранжа  z ⁡ ( x , y ) = x 2 + 2 ⁢ x ⁢ y − y 2 + 2 ⋅ 16 ⁢ x + 1     D:   x ≤ 0 ,   y ≤ 0 ,   x + y ≥ − 7

2. С использованием метода Лагранжа  z ⁡ ( x , y ) = 5 ⁢ x − 12 ⁢ y + 3     D:   x 2 + y 2 ≤ 3 2 ,    y ≤ x 

Точность расчетов - три значащие цифры. 

3.1 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области

Если функция F(x, y) дифференцируема в ограниченной области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке.

Порядок выполнения работы:

1. Найти критические точки f (X, Y), принадлежащие области D.  2. Исследовать функцию f (X, Y) на условный экстремум на границе области D.  3. Выбрать наибольшее Z_max и наименьшее Z_min значения функции Z = f (X, Y) в замкнутой области D, вычислить значения функции в критических точках внутри области и на ее границе.  4. В ответе записать Z_min, Z_max и координаты (X_min, Y_min) и (X_max, Y_max) точек, где достигаются эти значения. Изобразить графически область D и поместить на ней найденные точки (X_min, Y_min) и (X_max, Y_max).

Литература

1. Высшая математика. Раздел: Математический анализ. Учебное пособие по выполнению типовых расчетов. - М.: МИСиС, 1990, № 688, стр. 76-86.

1 Hахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области

1.1 Теоретическое введение

1.1.1 Экстремум функции двух переменных  Пусть функция двух переменных z = f(x,y) = f(P) непрерывна в некоторой области G.  Функция двух переменных имеет в точке P₀(x₀, y₀) области G максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x, y) этой окрестности, отличных от P₀, выполняется неравенство f(P₀) > f(P). Точка P₀ называется при этом точкой максимума функции f(x, y).  Функция двух переменных имеет в точке P₀(x₀, y₀) области G минимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x, y) этой окрестности, отличных от P₀, выполняется неравенство f(P₀) < f(P). При этом точка P₀ называется точкой минимума функции f(x, y).  Существует общее название для максимума и минимума – экстремум.  Необходимое условие существования экстремума.  Если в точке P₀(x₀, y₀) функция z = f(x, y) имеет экстремум и если в этой точке существуют частные производные первого порядка от функции z = f(x, y), то эти производные равны нулю, т.е.

f 'x(x0, y0); ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ f 'y(x0, y0).

(1)

Точки, в которых частные производные первого порядка функции z = f(x, y) равны нулю, называютсястационарными. Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются в нуль или не существуют, называются критическими этой функции. Точки экстремума функции следует искать среди её критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума.

1.1.2 Условный экстремум функции двух переменных  На практике в ряде случаев приходится иметь дело с исследованием на экстремум функций нескольких переменных при наличии определённых условий, связывающих эти переменные. Пусть задана функция двух переменных z = f(x, y) при условии, что x и y связаны соотношением φ(x, y) = 0, это соотношение называетсяуравнением связи.  Обозначим через D множество {(x, y): ­ φ(x, y)}. Точка P₀(x₀, y₀) є D называется точкой условного минимума функции f(x, y), если существует такая окрестность этой точки U(P₀), что для всех точек P(x, y) є U(P₀) ∩ D, отличных от P₀, выполняется неравенство f(P₀) < f(P).  Аналогично определяется точка условного максимума, только заключительное неравенство имеет вид:  f(P₀) > f(P).  Точки условного максимума или условного минимума называются точками условного экстремума функцииf(x, y), при этом говорят, что функция имеет в этих точках условный экстремум.  При наличии условия φ(x, y) = 0 из переменных x и y лишь одно независимое, а второе определяется из условия. Если разрешить условие относительно y и подставить в функцию z = f(x, y) вместо y найденное выражение, получим z как функцию одного переменного x. Таким приёмом часто пользуются при решении задач. Однако бывают случаи, когда выразить y из условия φ(x, y) = 0 затруднительно или вообще невозможно. В этом случае пользуются методом множителей Лагранжа.  Необходимое условие условного экстремума.  Пусть необходимо исследовать на экстремум функцию z = f(x, y) при наличии условия φ(x, y) = 0. Составим функцию F(x, y, λ), называемую функцией Лагранжа:

F(x, y, λ) = f(x, y) + λφ(x, y).

(2)

Если в точке P₀(x₀, y₀) существует условный экстремум функции z = f(x, y), то координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:

(3)

1.1.3 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области  Непрерывная функция двух переменных z = f(x, y) в ограниченной замкнутой области достигает своего наибольшего и наименьшего значения. Чтобы найти эти наибольшие и наименьшие значения в ограниченной замкнутой области G следует  – найти все критические точки функции z = f(x, y), принадлежащие области G;  – найти все стационарные точки условного экстремума на границах области G;  – вычислить значения функции f(x, y) во всех найденных выше точках, а также в точках пересечения границ области G.  Самое большое из найденных значений функции f(x, y) будет наибольшим значением этой функции в областиG. Соответственно, наименьшим значением функции f(x, y) в области G будет наименьшее из найденных значений функции.