1.2 Содержание типового расчета

В типовом расчете требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f(x, y) в ограниченной замкнутой области G. Типовой расчет содержит две задачи.

1.3 Пример выполнения типового расчета

Задача 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² – 2y² + 4xy – 6x – 1 в области x ≥ 0,   y ≥ 0,  x + y ≤ 4.  Решение. Представим указанную область графически (рис. 1). Точки, в которых функция принимает наибольшее и наименьшее значения, могут находится как внутри области, так и на ее границе.

Рис. 1

1. Если функция принимает наибольшее (наименьшее) значение во внутренней точке области, то в этой точке частные производные  z'_x = 2x + 4y – 6   и   z'_y = – 4y + 4x  должны обращаться в нуль.  Найдем стационарные точки, решая систему:            Имеем одну точку M₁(1; 1), которая находится внутри заданной области. В точке M₁ значение функции равно:  z (M₁) = z (1; 1) = 1² – 2 · 1² + 4 · 1 · 1 – 6 · 1 – 1 = – 4.  2. Перейдем к исследованию функции на границах области.  а) На отрезке OA:  x = 0,  0 ≤ y ≤ 4,   z = –2 y² – 1 = z ( y ).  Задача сводится к отысканию стационарной точки функции одного аргумента на отрезке [0; 4]. Находим производную z'_y = – 4y.  Решаем уравнение z'_y = 0   y = 0.  На отрезке OA находится одна стационарная точка O (0; 0). Находим значение функции z в этой точке z (0) = –1.  б) На отрезке OB:   y = 0,   0 ≤ x ≤ 4,   z = x² – 6x – 1 = z ( x ).  Находим z'_x = 2x – 6.   z'_x = 0 при x = 3.   Получили стационарную точку M₂ (3; 0) на отрезке OB. Значение функции z в этой точке z(M₂) = z(3; 0) = –10.  в) На отрезке AB:   x + y = 4 или y = 4 – x,   где 0 ≤ x ≤ 4.  И в этом случае получаем функцию одной переменной  z = x² –2(4 – x)² + 4x(4 – x) – 6x – 1 = – 5x² + 26x – 33 = z (x).  Ее исследование на экстремум дает  z'_x = –10x + 26   z'_x = 0   x = 2,6, ­ тогда y = 1,4.  Таким образом, на отрезке AB имеем стационарную точку M₃ (2,6; 1,4). Значение функции z в точке M₃ равно z(M₃) = z (2,6; 1,4) = 0,8.  3. Вычислим значение функции z (x,y) в точках пересечения границ O, A, B. В точке O (0; 0) расчет уже произведен.  z (A) = z (0; 4) = – 33;     z (B ) = z (4; 0) = – 9.  Из всех полученных нами значений функции в стационарных точках  z (M₁) = – 4;   z (0) = – 1;   z (M₂) = – 10;   z(M₃) = 0,8 и в точках пересечения границ области z (A) = – 33,   z (B) = – 9 выбираем наибольшее и наименьшее:

z_наиб = z (M₃) = z (2,6; 1,4) = 0,8.  z_наим = z (A) = z (0; 4) = – 33.

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 7x – 13y + 3 в области  x² + y² ≤ 64,  y ≤ x.  Решение 1. Для отыскания стационарных точек заданной функции нужно решить систему        Так как частные производные заданной функции в нуль не обращаются, то функция стационарных точек не имеет.  2. Исследуем функцию на границах области (рис. 2). 

  Рис. 2

а) На отрезке AB :  y = x;   z = 7x – 13x + 3 = – 6x + 3 = z (x).  z'_x = – 6 ≠ 0.  Так как на прямой AB производная в нуль не обращается, функция не имеет на этой прямой стационарных точек.  б) Для исследования функции на окружности x² + y² = 64 используем метод неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа  F (x, y, λ) = z (x, y) + λφ (x, y) = 7x – 13y + 3 + λ (x² + y² – 64).  Для нахождения стационарных точек необходимо решить систему уравнений  .  Из первых двух уравнений найдем  ,   и подставим в третье уравнение  =64   218 = 256λ²    λ² =   ≈ 0,852.  Откуда λ ≈ ± 0,923. Получили две стационарные точки на окружности. При λ₁ = 0,923 находим x₁ = – 3,79,  y₁ = 7,04. Точка M₁ (– 3,79; 7,04) не принадлежит заданной области (рис. 2).  Значению λ₂ = – 0,923 соответствуют x₂ = 3,79,  y₂ = – 7,04. Точка M₂ (3,79; – 7,04) принадлежит заданной области. Вычислим значение функции z в этой точке  z (M₂) = z (3,79; –7,04) = 121,05 ≈ 121.  3. Вычислим значения функции в точках пересечения границ  x² + y² = 64 и y = x:  x² + x² = 64   x² = 32   x = ±   ≈ ± 5,66.  В точке A (5,66; 5,66)  z (A) = – 30,96 ≈ – 31,0.  В точке B (– 5,66; – 5,66)  z (B) = 36,96 ≈ 37,0.  Мы нашли одну стационарную точку M₂,  z (M₂) = 121 и вычислили функцию в двух «угловых» точках z(A) ≈ –31,0,  z(B) ≈ 37,0. Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее, получаем ответ  z_наиб = z (M₂) = z (3,79; – 7,04) = 121,  z_наим = z (A) = z (5,66; 5,66) = – 31,0.