3. Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем

3.1. О методе расчета показателей надежности восстанавливаемых систем.

Одним из основных (инженерных) методов является метод, основанный на использовании понятия графа переходов между состояниями.

Этот метод распадается на два вида:

1) Граф интенсивности перехода. Основное условие использования этого метода это то, что потоки событий простейшие, т.е. отказы и восстановления описываются экспоненциальными законами;

2) Метод переходных матриц вероятностей. В принципе, может быть любой закон распределения вероятности, но инженерное использование его проблематично.

3.2. Метод графа интенсивности перехода

По Колмогорову-Чепмену (в основе метода лежит граф состояний).

Рис. 9. Граф состояний.

1. Устройство в рабочем состоянии;

2. Состояние ремонта;

3. Состояние профилактики.

Интенсивность – величина, обратная соответствующему времени.

Порядок решения:

1) Анализ состояний;

2) Анализ переходов с указанием интенсивности соответствующих событий.

Рассмотрим вопрос о том, как связана вероятность в момент времени и .

, .

Выражение вероятности .

Предположим, что к моменту времени соответствующее исходное состояние (со звездой):

(3.1)

Разлагая в ряд (или дифференциал ) легко можно увидеть, что:

при (типа выходная величина).

Где - интенсивность.

рассуждая аналогично для дуги с интенсивностью получим, что

или

(3.2)

Уравнение (3.2) называется уравнением Колмогорова-Чепмена.

Если проанализировать эту систему, например, для установившегося режима.

Статика – установившееся состояние.

Определитель этой системы равен нулю.

Из системы одно уравнение убирается, т.к. они линейно-зависимы (одно из уравнений может быть получены из двух других) и заменить его на .

После этого можно получить установившееся значение вероятности и можно получить изменение вероятностей в динамике при заданных начальных условиях.

Пример 3.

1 – Работоспособная система;

2 – Отказ системы.

Рассмотрим изменение состояний в динамике.

Можно записать по Лапласу.

, - начальные условия.

Итак, по Лапласу:

получается система алгебраических выражений:

где - коэффициент готовности.

при .

Рис. 9. Функция готовности

Рис. 10 Вероятность выхода из строя прибора.

Рис. 11. Вероятность безотказной работы.

3.3. Расчет показателей надежности систем с восстановлениями при произвольных законах распределения времени безотказной работы и восстановления

Предыдущий метод расчета показателя надежности базируется на экспоненциальных законах распределения безотказной работы и восстановления. Он называется методом «переходных интенсивностей», потому что интенсивности – константы (экспоненциальный закон).

Для произвольных законов распределения используется метод переходных вероятностей.

Уже нет требования к постоянству и , что соответствует нестационарной системе.

Идея метода.

Так же как в методе переходных интенсивностей ( , - константы) используется граф переходов.

Рис. 12 Граф.

Здесь указываются вероятности переходов из одного состояния в другое.

Вероятности записываются в виде матрицы .

Первая строка соответствует вероятности перехода из 1-го состояния и т.д.

Для схемы (рис. 12.)

.

Сумма по строке должна быть равна единице.

Если рассмотреть изменение состояния по этапам и ввести гипотезу (допущение) о независимости вероятностей и переходов от предыдущих состояний.

Неважно, как попало состояние, далее движение происходит независимо.

Так же система при стационарности интенсивности перепадов называется Марковскими цепями.

В данном случае веса дуг меняются во времени, т.е. интенсивность изменяется, поэтому такой граф называется Марковским (цепь полумарковская).

С учетом этого предположения на каком такте для -й вероятности можно записать:

.

Произведение отражает, что два события независимы.

Совпадение двух событий (независимых) отражается произведением.

Таким образом, для данного графа:

(3.3)

Все вероятности зависят от времени.

Одно из уравнений не принимается к расчету.

Поскольку система нестационарная, аналитических методов получения зависимости не существует.

Численный метод:

1) Задаются начальные условия;

2) Задается шаг квантования по времени. Шаг квантования выбирается обычно из

Рис. 13. Ступеньки.

Т.е. по среднему значению ступенек, которое мало отличается от крайних значений (порядка 200 часов).

3) Итеративно (по точкам) начинают решать систему уравнений

(3.4)

при этом кривая должна быть задана.

Решение заканчивается тогда, когда вероятности перестают изменяться, т.е. заканчивается переходный процесс.

Пример 4.

Рис. 14. Граф.

Матрица запишется в виде:

система уравнений

начальные условия: ; ;

берем интервал времени часов.

1) Шаг

На этом интервале

Рис. 15. Кривые изменения вероятностей.

Понятно, что

Допустим, что вероятность

при .

- рассчитывается.

Полученные вероятности подставляются в систему уравнений и решают ее.

часов

2) Вычислим и т.д. исходя из того, что нам задано.

3) Получаются новые решения.

Рис. 16. Вероятность.

Предельное (финальное) значение вероятностей находятся по этой же системе, но беда в том, что финальное значение неизвестно, поэтому могут быть получены только оценки.

Пример 5

- для системы, имеющей два состояния.

Рис. 17. Система с двумя состояниями