- •54. Биномиальным дифференциалом называется выражение вида
- •55. Определённый интеграл. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определение определённого интеграла.
- •56. Условия существования определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
- •57. Вычисление определённого интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определённом интеграле.
- •58. Вычисление площадей с помощью определённого интеграла. Вычисление площадей в параметрической форме.
- •59. Вычисление площади фигуры в полярных координатах.
- •60. Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.
- •61. Объём тела вращения
- •62. Длина дуги кривой.
- •63. Длинна дуги кривой заданной в явном виде.
- •64. Длинна дуги кривой заданной в полярных координатах. Площадь поверхности вращения.
- •65. Физические приложения определённых интегралов.
- •66. Первая и вторая теорема Гульдина.
- •67. Интегралы с бесконечными границами. Несобственные интегралы.
- •68. Несобственный интеграл от неограниченной функции.
- •69. Функции многих переменных. Предел. Непрерывность. Теорема о непрерывных функциях.
- •70. Частные производные и их геометрический смысл. Производные по направлению. Градиент и его св-ва.
- •71. Самый длинный предпоследний вопрос.
- •72. Производные и дифференциалы сложных ф-й нескольких переменных.
60. Объём цилиндра. Объём тела по площадям параллельных сечений.
Пусть имеется тело ограниченное сверху и снизу некоторой квадрируемой областью с высотой H, тогда V=Sоснов*H.
Пусть тело ограничено некоторой замкнутой поверхностью. Примем какую-нибудь прямую за ось ОХ. И пересечём тело плоскостями перпендикулярными оси ОХ. Тогда в сечении получатся плоские фигуры, площади которых зависят от Х. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками . Через каждую точку проведём сечение параллельное некоторой плоскости P. В каждом частичном сегменте возьмём некоторую точку «кси итая». S(«кси итая»)-площадь, , тогда . , далее объём равен пределу и далее интегралу .
61. Объём тела вращения
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:
62. Длина дуги кривой.
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .
Тогда длина дуги равна .
Из геометрических соображений:
В то же время
Тогда можно показать что Т.е.
63. Длинна дуги кривой заданной в явном виде.
Теор.: Пусть кривая АВ задана вуравнением y=f(x), где f(x) и f’(x) – непрерывные на отрезке [a,b] функции, тогда длинна дуги: (для доказательства нужно разбить кривую точками).
64. Длинна дуги кривой заданной в полярных координатах. Площадь поверхности вращения.
Пусть кривая АВ задана в полярных координатах АВ: =() (- фи). Представим кривую в параметрическом виде, взяв в качестве параметра угол , и применим формулы соответствия декартовых координат с полярными.
Далее находим (x’)2+(y’)2=…= . Затем подставляем в формулу длинны дуги для параметрического уравнение и получаем:
Площадь поверхности вращения: f(x) и f’(x) – непрерывные на [a,b].
65. Физические приложения определённых интегралов.
1. Пусть материальная точка под воздействием силы F не меняет ни значения ни направления, тогда работа: A=F*L.
Если F меняется по значению и не меняет направление, тогда работа: .
2. s, t , v,t s(t)=
3. Координаты центра тяжести.
1) Если на плоскости xOy дана система материальных точек Pi(xi,yi), то ximi,yimi – статические моменты массы mi относительно осей.
2) Нахождение координат центра тяжести плоской кривой: .
3) Координаты центра масс:
66. Первая и вторая теорема Гульдина.
Теор1.: Площадь поверхности получающаяся от вращения плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей данную кривую, равна произведению длинны окр, описываемой центром тяжести этой кривой на длину кривой.
Док-во: Сначала нужно записать формулу Yc , выразить числитель, умножить на два пи, тогда с лева будет S-поверхности вращения.
Теор2.: Объём тела полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей её, равна произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемую центром тяжести этой фигуры.
Док-во: , где - площадь области. Далее домножаем на два пи. И слева получается «Объем тела вращения».