- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
- •Предисловие
- •Основные приемы и методы интегрирования Основная задача дифференцирования:
- •Основная задача интегрирования:
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •I. Непосредственное интегрирование
- •II. Интегрирование заменой переменной
- •Два способа замены переменной
- •Способ I.
- •Способ II.
- •Замена переменной в уме
- •Решение задач 1-14 типового варианта
- •III. Интегрирование по частям
- •Подынтегральное выражение представить в виде произведения двух сомножителей .
- •По установленному выражению надо дифференцированием найти .
- •По известному сомножителю определить интегрированием функцию .
- •Интегралы, для вычисления которых интегрирование по частям применяется несколько раз
- •Приведение интеграла к самому себе
- •1. Правило выбора частей:
- •Правило разложения правильной рациональной функции на простейшие
- •Корни знаменателя вещественные числа
- •Некоторые корни знаменателя кратные
- •Некоторые корни знаменателя – комплексные числа
- •Корни знаменателя – кратные комплексные числа
- •2. Интегрирование простейших дробей
- •Замечание. Под знаком логарифма трехчлен не взят по абсолютной величине, так как дискриминант отрицателен, а поэтому при любом значении этот трехчлен положителен.
- •3. Общий случай
- •Решение задач 19-21 типового варианта
- •V. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции
- •IV. Интегралы вида
- •V. Интегралы вида
- •1. Если подынтегральная функция имеет вид
- •2. Если подынтегральная функция имеет вид
- •Если функция не изменяется при замене на и
- •Решение задач 22-24, 26 типового варианта
- •VI. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Рационализация подынтегральной функции
- •Подстановкой ,
- •Подстановкой ,
- •Если – целое число, то имеем рассмотренный выше случай интегрирования простейших иррациональных функций;
- •Если – целое число, то применяется подстановка , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей ;
- •Если – целое число, то используется подстановка , где – знаменатель дроби .
- •Решение задач 27, 28, 25 типового варианта
- •VI. Интегрирование разных функций
- •Еще раз напоминаем, что один и тот же интеграл можно найти по-разному
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач Студент должен уметь:
- •Использованная литература
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания неопределенный интеграл
Приведение интеграла к самому себе
Задача III.5. Найти интегралы: 1) ; 2) .
1) ▲
.
Таким образом, двукратное применение формулы интегрирования по частям привело нас к исходному интегралу, который мы вычисляем.
.
Мы получили уравнение с неизвестной величиной .
Перенося последнее слагаемое в левую часть уравнения, найдем
.
Вынесем в левой части этого уравнения за скобку:
.
Отсюда следует, что искомый интеграл равен
. ▼
2) ▲
.
.
.
. ▼
УКАЗАНИЯ
1. Правило выбора частей:
Если – тригонометрическая или показательная функция,
то следует положить .
Если – логарифмическая или обратная тригонометрическая
функция, то .
2. Интегрирование по частям можно применять
несколько раз подряд.
3. Интегрирование по частям интеграла
и некоторых других интегралов можно привести
к линейному уравнению относительно этих интегралов
после двукратного применения формулы интегрирования
по частям.
Решение задач 15-18 типового варианта
Найти неопределенные интегралы.
▲
. ▼
▲
. ▼
▲
. ▼
▲
. ▼
IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Краткие сведения о рациональных функциях
Простейшей рациональной функцией является многочлен степени, т. е. функция вида
, (IV.1)
где – вещественные постоянные, причем . Многочлен , у которого коэффициент , называется приведенным.
Корни многочлена.
Вещественное число называется корнем многочлена , если .
Разложение многочлена на множители.
Если числа являются корнями многочлена , то этот многочлен может быть разложен на множители по формуле
. (IV.2)
Многочлен степени не может иметь больше, чем различных корней.
Корень многочлена называется простым, если в разложение (IV.2) множитель входит один раз.
Если же этот множитель в формулу (IV.2) входит раз, то корень называется корнем кратности многочлена (IV.1).
Если многочлен (IV.1) имеет не только вещественные, но и комплексные корни, то вместо формулы (IV.2) имеет место формула
(IV.1),
где – натуральные числа.
Квадратичные множители , входящие в эту формулу, не имеют вещественных корней и на множители первой степени с вещественными коэффициентами не разлагаются (здесь – вещественные коэффициенты).
Рациональная дробь.
Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов
,
причем предполагается, что многочлены не имеют общих множителей.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. .
Если же , то рациональная дробь называется неправильной, ее можно представить в виде
,
где – некоторые многочлены, а является правильной рациональной дробью.
Пример IV. 1. 1) ; 2) ; 3) .
1) ▲ . Дробь правильная (степень числителя меньше степени знаменателя). ▼
2) ▲ . Дробь неправильная (степень числителя равна степени знаменателя). ▼
3) ▲ . Дробь неправильная (степень числителя больше степени знаменателя). ▼
Из неправильной рациональной дроби всегда можно выделить целую часть (многочлен). Это достигается делением числителя на знаменатель по правилу деления многочленов.
Пример IV. 2. Рациональная функция является неправильной дробью.
▲ Разделив на «уголком», будем иметь
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, таким образом,
. ▼
Простейшие дроби.
Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные дроби следующих четырех типов:
I. ; II. ; III. ; IV. ,
Где – вещественные числа, – натуральное число, большее или равное 2, а квадратный трехчлен не имеет вещественных корней, так что его дискриминант .
Разложение рациональной дроби на простейшие.
В алгебре доказывается теорема.
Теорема IV.1. Правильная рациональная дробь с вещественными коэффициентами, знаменатель которой имеет вид
,
разлагается единственным способом на сумму простейших дробей по правилу
,
где – вещественные числа, подлежащие определению.