Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

В. Н. Веретенников

Руководство к решению задач индивидуального задания обыкновенные дифференциальные уравнения

Р Г Г М У

Санкт-Петербург

2008

Одобрено научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Руководство к решению задач индивидуального задания «Обыкновенные дифференциальные уравнения». – СПб.: Изд. РГГМУ. 2008. – 38 с.

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

© Веретенников В. Н

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

Предисловие

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

• Воспитание достаточно высокой математической культуры.

• Привитие навыков современных видов математического мышления.

• Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Обыкновенные дифференциальные уравнения"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

1.1. Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением называется соотношение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные (или дифференциалы).

В случае, когда неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение.

Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка в самом общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до порядка включительно и имеет вид

. (1.1)

В этом уравнении − независимая переменная, − неизвестная функция, а − производные неизвестной функции.

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

, (1.2)

а если его удастся решить относительно производной, то оно запишется в нормальной форме:

. (1.3)

В некоторых случаях уравнение (1.3) удобно записывать в виде

или в виде

,

которое является частным случаем более общего уравнения в дифференциальной форме

, (1.4)

где − известные функции. Уравнение в симметричной форме (1.4) удобно тем, что переменные в нем равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в верное равенство.

Справедлива

Теорема 1 (Коши). Если функция непрерывна в точке и в ее окрестности, то существует решение уравнения (1.3), такое, что . Если непрерывна также частная производная данной функции, то это решение единственно.

Общим решением уравнения первого порядка называется функция , которая при любом значении произвольной постоянной является решением данного уравнения.

Общее решение, полученное в неявном виде: , называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Построенный на плоскости график всякого решения данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению на плоскости соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной .

Часто среди всех решений дифференциального уравнения, определяемых его общим решением, требуется найти такое, которое удовлетворяет условиям: , где и − заданные числа. Геометрически это значит, что требуется найти интегральную кривую, проходящую через заданную точку плоскости .

Задание таких условий , называется заданием начальных условий и записывается коротко так:

.

Решения, которые получаются из общего решения при определенном значении произвольной постоянной , называются частными.

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям , называется задачей Коши.

Замечание. У дифференциального уравнения может существовать решение (интеграл), которое невозможно получить из общего решения ни при каких значениях произвольных постоянных . Такие решения (интегралы) называются особыми.

Например, проверкой можно убедиться, что уравнение имеет общее решение , в то же время функция также является решением этого уравнения, но это решение не может быть получено из общего решения ни при каких значениях , т. е. является особым.

Графиком особого решения является интегральная кривая, которая в каждой своей точке имеет общую касательную с одной из интегральных кривых, определяемых общим решением. (Такая кривая называется огибающей семейства интегральных кривых.)

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.