- •Предисловие
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Геометрический смысл условий монотонности.
- •Экстремумы функции
- •Г еометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов
- •Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)
- •Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)
- •Правило исследования функции на монотонность и экстремумы .
- •Проведем решение по второму правилу Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной.
- •Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба
- •Практическое правило нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции
- •Асимптоты графика функции
- •Наклонные асимптоты
- •Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной асимптоты )
- •7.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Промежутки знакопостоянства
- •Промежутки знакопостоянства
- •7.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач
- •Использованная литература
- •Содержание
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. Н. Веретенников
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Р Г Г М У
Санкт-Петербург
2007
Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ
УДК 51
Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 36 с.
Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.
Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.
© Веретенников В. Н.
© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.
Предисловие
"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.
Целью математического образования является:
Воспитание достаточно высокой математической культуры.
Привитие навыков современных видов математического мышления.
Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.
Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.
В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ
Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.
Основные теоретические сведения
ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ
Определение 1. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .
Определение 2. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .
Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности.
Признаки возрастания и убывания функций
Следующая теорема выражает важный для практических целей признак возрастания и убывания функции и указывает правило для определения интервалов, в которых функция возрастает и убывает (иначе, интервалов монотонности функций).
При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует, прежде всего, определить область существования этой функции.
Теорема 1 (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале). Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале убывает.
Геометрический смысл условий монотонности.
Известно: – геометрический смысл производной ( угол между касательной и осью ).
y y
O x0 x O x0 x
Функция возрастает: , так как касательная наклонена к оси под острым углом . |
|
Функция убывает: , так как касательная наклонена к оси под тупым углом . |
Практическое правило для нахождения промежутков монотонности функции. Для нахождения промежутков монотонности функции достаточно
разбить область существования функции на интервалы точками, в которых ее первая производная равна нулю или не существует,
определить ее знак в каждом из этих интервалов. Для чего достаточно вычислить значение производной в какой-либо одной точке каждого интервала, ибо внутри каждого интервала производная сохраняет постоянный знак (или решить неравенства ).
Пример 1. Определить промежутки монотонности функции .
▲ Функция определена на всей числовой оси
Найдем ее первую производную: . Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках (решается уравнение ).
Эти точки разбивают область определения функции на интервалы .
Определим знак производной в каждом из интервалов, для чего достаточно вычислить знак в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала удобно взять , следовательно, в интервале функция возрастает. Для второго интервала удобно взять , , следовательно, в интервале функция убывает. Для третьего интервала , , следовательно, в интервале функция возрастает.
Результаты исследования приведены в таблице.
Интервал изменения |
|
|
|
▼ |
|
+ |
– |
+ |
|
Поведение функции |
|
|
|
Замечание. Условимся в дальнейшем возрастание, убывание функции на интервале обозначать так: .
Пример 2. Определить промежутки монотонности функции .
▲ Функция определена на всей числовой оси
Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .
Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .
Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки и . Тогда , следовательно, на интервале функция возрастает; , значит, на интервале функция убывает; , значит, на интервале функция возрастает.
Интервал изменения |
|
|
|
▼ |
|
+ |
– |
+ |
|
Поведение функции |
|
|
|
Пример 3. Определить промежутки монотонности функции .
▲ Функция не определена , т. е. область определения функции .
Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .
Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .
Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки , . Тогда , следовательно, на интервалах и функция возрастает; , следовательно, на интервалах и функция убывает.
Интервал изменения |
|
|
|
|
▼ |
|
+ |
– |
– |
+ |
|
Поведение функции |
|
|
|
|