- •Предисловие
- •Признаки возрастания и убывания функций
- •Геометрический смысл условий монотонности.
- •Экстремумы функции
- •Г еометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов
- •Правило для исследования функции на экстремум при помощи первой производной (первый способ)
- •Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)
- •Правило исследования функции на монотонность и экстремумы .
- •Проведем решение по второму правилу Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной.
- •Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба
- •Практическое правило нахождения точек перегиба и участков выпуклости и вогнутости функции
- •Асимптоты графика функции
- •Наклонные асимптоты
- •Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной асимптоты )
- •7.3. Общая схема исследования функции и построения ее графика
- •Промежутки знакопостоянства
- •Промежутки знакопостоянства
- •7.4. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний формулировок
- •2. Знания на уровне доказательств и выводов
- •3. Умения в решении задач
- •Использованная литература
- •Содержание
Асимптоты графика функции
Может оказаться, что размеры графика данной функции , не ограничены. Это бывает, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке. В таких случаях часто представление о графике функции вне рамок чертежа дают асимптоты графика.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по какой-либо части кривой от начала координат.
Различают три вида асимптот: вертикальные (параллельные оси ), горизонтальные (параллельные оси ) и наклонные (не параллельные ни одной из координатных осей).
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено хотя бы одно из условий
.
Для разыскания вертикальных асимптот кривой поступаем следующим образом:
находим на оси точки разрыва функции ;
выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции (слева или справа) равен . Пусть это будут точки . Тогда прямые будут вертикальными асимптотами графика функции .
Наклонные асимптоты
Теорема 4. Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела
.
Аналогично для случая .
Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной асимптоты )
Если функция имеет конечный предел, равный числу : , то прямая есть горизонтальная асимптота соответственно для правой или левой ветви графика функции .
Правило отыскания асимптот очевидно из следующего образца.
Пример 10. Найти асимптоты кривой .
▲ Найдем область определения функции: .
.
Функция не определена в точках . Определим тип разрыва в этих точках, для чего вычислим пределы ,
,
,
.
Следовательно, прямые вертикальные асимптоты.
Найдем левую наклонную асимптоту:
;
.
Следовательно, имеем слева горизонтальную асимптоту .
Найдем правую наклонную асимптоту:
;
.
Значит, справа имеем горизонтальную асимптоту .
▼
Пример 11. Найти асимптоты кривой .
▲ Найдем область определения функции: . Функция не определена в точке . Определим тип разрыва в этой точке, для чего вычислим пределы
Аналогично получаем .
Прямая – вертикальная асимптота.
Для нахождения левой наклонной асимптоты вычислим
,
.
Следовательно, прямая – левая наклонная асимптота.
Аналогично для правой наклонной асимптоты получаем
.
Следовательно, прямая – наклонная асимптота.
▼
Пример 12. Найти асимптоты кривой .
▲ Найдем область определения функции: . Поэтому вертикальная асимптота может существовать лишь на конечной границе области определения. Найдем
.
Значит, прямая – вертикальная асимптота.
Найдем правую наклонную асимптоту (так как ):
.
.
Следовательно, наклонной асимптоты нет.
▼