- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
- •Предисловие
- •Понятие определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов
- •1. Понятие определенного интеграла
- •2. Условия интегрируемости функций
- •4. Свойства определенного интеграла
- •5. Вычисление определенного интеграла
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Интегрирование по частям определенного интеграла
- •3. Замена переменной в определенном интеграле
- •Решение задач I типового варианта
- •6. Вычисление несобственных интегралов
- •Решение задач II типового варианта
- •7. Приложение определенных интегралов к задачам геометрии
- •1. Вычисление площадей плоских фигур
- •2. Вычисление объемов тел вращения
- •3. Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий основные понятия и формулы
- •Решение задачи III типового варианта
- •Решение задачи IV типового варианта
- •Знания и умения, которыми должен владеть студент
- •1. Знания на уровне понятий, определений, описаний, формулировок
- •Содержание
- •Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания определенный интеграл
2. Вычисление объемов тел вращения
Телом будем называть любое ограниченное множество точек пространства.
Тело вращения – тело, полученное в результате вращения фигуры вокруг некоторой оси (оси вращения).
Объем тела вращения – аддитивная величина, следовательно, объем тела вращения можно определить с помощью определенного интеграла.
Вычисление объема в прямоугольной системе координат. Воспользуемся дифференциальным методом.
Найти дифференциал объема как главную часть приращения объема.
Определить пределы интегрирования .
Вычислить объем .
Дифференциал объема в прямоугольной системе координат – объем цилиндра с бесконечно малой высотой и переменным основанием.
Форма записи дифференциала объема зависит от условий задачи – от того, как задана фигура, которая в результате вращения образует тело, и что принято за ось вращения.
О сь вращения будем отмечать дугой со стрелкой
2. y
1 . y
y
O a x a=0 dx b x
dx
. .
4. y
3 . y
d
d
dy
dy
c
O x c=0 x
. .
Замечание. На всех чертежах изображено сечение тела плоскостью чертежа.
Задача 7.2.1. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.
▲ – полукубическая парабола, смещенная на 1 вправо по оси . – прямая.
Точки пересечения полукубической параболы и прямой:
. Построение очевидно.
y
B
O 1 2 x
dx
1) Имеем дифференциал объема: .
2) Пределы по чертежу: .
3) Вычислим объем: . ▼
Задача 7.2.2. Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси .
Найти объем тела вращения.
▲ – парабола, – прямая. Точки пересечения параболы и прямой:
. Построим чертеж:
y
A
O 4 x
1) Найдем .
2) Пределы определяем из решения системы при определении точек пересечения параболы и прямой: .
3) Вычисляем объем:
. ▼
Вычисление объема при параметрическом задании линий, ограничивающих фигуру.
Задача 7.2.3. Фигура, ограниченная одной аркой циклоиды и осью вращается вокруг оси . Найти объем тела вращения.
▲ Чертеж циклоиды очевиден.
y
O dx 2πa x
1) .
2) Пределы определяются по пределам из зависимости . Имеем
|
0 |
|
|
0 |
|
3)
.
3. Вычисление длин плоских кривых при различных способах задания линий основные понятия и формулы
1. Длина кривой.
Рассмотрим на плоскости кривую , заданную параметрически:
,
где – непрерывные функции на отрезке , причем различным значениям соответствуют различные точки (т. е. нет кратных точек). Такую кривую назовем простой (плоской) незамкнутой кривой.
Если точки совпадают, а остальные точки не являются кратными, то кривая называется простой замкнутой кривой.
Длина дуги – аддитивная величина, следовательно, ее можно найти с помощью определенного интеграла.
Воспользуемся дифференциальным методом.
Найти дифференциал дуги в зависимости от способа задания кривой.
Определить пределы интегрирования.
Вычислить интеграл от дифференциала дуги.
2. Длина кривой в декартовых координатах. Если кривая задана уравнением
,
причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле
,
а длина кривой по формуле
.
Если кривая задана уравнением
,
причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, то дифференциал дуги вычисляется по формуле
,
а длина кривой по формуле
.
3. Длина кривой, заданной параметрически. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , причем функции имеют на отрезке непрерывные производные. Тогда дифференциал дуги выражается формулой
а длина кривой
.
4. Длина кривой в полярных координатах. Если кривая задана уравнением , , причем функция имеет на отрезке непрерывную производную, дифференциал дуги выражается формулой
,
а длина кривой
.
Замечание. Задачи на вычисление длин дуг можно решать без чертежа.
Задача 7.3.1. Найти длину дуги кривой .
▲ 1.
.
2. Пределы заданы в условии задачи .
3.
. ▼
Задача 7.3.2. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .
▲ Кривая задана параметрически.
1.
.
2. Пределы для переменной определяются по пределам из уравнения
|
0 |
|
|
0 |
|
3. . ▼
Задача 7.3.3. Вычислить длину логарифмической спирали .
▲ Кривая задана в полярной системе координат.
1. .
2. Пределы заданы по условию задачи: .
3. .