18. Замкнута система рівнянь: диференціальні рівняння, припущення, умови однозначності.

Диференціальні рівняння:

Рівняння нерозривності (суцільності) потоку

Рівняння нерозривності є математичним виразом закону збереження речовини, який формулюється таким чином: маса замкнутої системи не змінюється. У декартовій системі координат рівняння нерозривності має вигляд:

. (1)

Якщо рідина є нестискною, тобто її густина  не змінюється з часом і в просторі, то рівняння (1) спрощується:

. (2)

Для одновимірного потоку стискної рідини, спрямованого вздовж осі х крізь переріз площею S, рівняння нерозривності можна записати у вигляді:

, (3)

або для усталеного потоку

,

звідки

. (4)

Для нестискної рідини:

, (5)

де w_і – середня швидкість руху нестискної рідини крізь переріз і, м/с; S_і – площа перерізу і, м²; V_c – об’ємна витрата рідини, м³/с.

Вираз (5) називається рівнянням сталості витрати та є формою рівняння нерозривності потоку (1).

Рівняння руху Нав’є–Стокса

Рівняння руху Нав’є–Стокса є прикладенням другого закону механіки Ньютона до процесів гідродинаміки: зміна кількості руху елемента рідини дорівнює сумі всіх сил, які діють на цей елемент. У декартовій системі координат рівняння руху в проекціях на осі має такий вигляд:

; (6)

де – нормальні, а – дотичні напруження, які діють на елемент рідини відповідно в площинах xy, xz та yz.

В ізотропній рідині, для якої є справедливим закон в’язкого тертя Ньютона (ньютонівські рідини), напруження, які діють на елемент рідини, пропорційні ґрадієнту швидкості, наприклад, , і т.д.

Підставивши ці вирази в систему рівнянь (6), одержимо:

. (7)

Кожний з доданків рівняння (7) має певний фізичний зміст. Перший доданок лівої частини описує нестаціонарність процесу, тобто визначає локальну зміну швидкості з часом у даній точці простору. Другий доданок описує зміну швидкості під час переходу від однієї точки простору до іншої, а оскільки зміна швидкості завжди пов’язана з інерційними ефектами, – описує інерційні сили. Перший доданок правої частини відображає вплив масових сил (тяжіння, відцентрових та ін.), другий – вплив ґрадієнта тиску, тобто джерела вимушеного руху рідини. Третій доданок правої частини враховує сили в’язкого опору переміщенню рідини. Одиниці всіх доданків рівняння (7) мають позначення Н/м³, тобто віднесені до одиниці об’єму.

Наведений клас рівнянь (1 – 7) описує гідродинаміку процесу.

Диференціальне рівняння енергії

Рівняння енергії виводиться на підставі закону збереження енергії. На відміну від постановки задачі теплопровідності в даному випадку припускається, що тепловий потік підводиться не тільки теплопровідністю, але й конвекцією. При цьому вся підведена теплота йде на збільшення ентальпії рідини.

Скорочено рівняння енергії записується у вигляді

. (8)

Одиниця кожного з доданків рівняння (8) має позначення К/с. Таким чином, повна зміна температури (як і будь-якої іншої величини) є наслідком двох процесів: змінення температури в розглянутій точці з часом (локальна зміна) і змінення під час переходу з однієї точки простору в іншу (конвективна зміна).

Рівняння (8) можна записати і в розгорнутому вигляді:

(9)

або

. (10)

Рівняння реологічного стану розплаву переробляємого полімеру

Рівняння реологічного стану виражає залежність напруги зсуву від швидкості деформації (швидкості зсуву) і є математичною моделлю, що відображає реальні властивості середовища.

Для нестискних в’язких ньютоновських рідин реологічне рівняння має вид

, (11)

де τ_ij – компонента напруги зсуву, Па; μ – в’язкість розплаву, Па с; Δ_ij – тензор швидкості деформації, котрий визначається з рівняння

. (12)

У прямокутних координатах вираз має наступний вид

(13)

Напруги зсуву розташовані в площині зсуву шарів рідини і спрямовані по одній з координат, що позначається з допомогою індексів. Перший індекс у напруги зсуву позначає координату, що перпендикулярна до поверхні, в котрої виникає напруга, а другий індекс – напрямок цієї напруги.

Прикладення зсувних напруг неминуче викликає розтягання або стиснення елементів рідини в відповідних напрямках, тобто при течії з’являються поряд з дотичними нормальні напруги. Вони виникають також припри створенні в рідині гідростатичного тиску. Стискуючі або розтягуючи нормальні напруги звичайно позначають літерами з двома однаковими індексами, наприклад, σ_хх, σ_уу, σ_zz і т.д.

Нормальні напруги зв’язані з деформацією рівняннями і для нестискнених ньютоновських рідин мають вид

. (14)

Тензор швидкості деформації залежить від характеру дії зовнішніх сил та виду течії в’язкого середовища. Так, при простій зсувній течії, коли є тільки одна складова швидкості, одна з компонент швидкості деформації стає рівною нулю, і реологічне рівняння (11) приймає вид рівняння Ньютона

, (15)

де – швидкість зсуву, с^-1.

У фізичному розумінні швидкості зсуву – це інтенсивність зміни швидкості потоку по координаті, нормальної до площини зсуву. У розплавів полімерів спостерігається залежність в’язкості від швидкості зсуву. Тому що на в’язкість впливає режим течії, вводять поняття ефективної в’язкості, тобто в’язкості, що виміряється при певному значенні швидкості зсуву.

Для розплавів полімерів, що проявляють постійну ступінь аномалії в’язкості в достатньо широкому інтервалі швидкостей зсуву і не маючих вираженої області, в інженерних розрахунках застосовується степеневе рівняння, котре для зсувної одномірної течії має вид

, (16)

де К – коефіцієнт, чисельно рівний в’язкості системи при = 1; п – показник степеню, для розплавів полімерів п < 1.

Припущення

Як вже зазначалося вище, значна кількість залежних і незалежних параметрів математичних моделей, що використовуються при опису технологічних процесів переробки полімерів, їх складна взаємозалежність, роблять розв’язання систем приведених рівнянь складним. Для спрощення рішення математичних моделей (без суттєвого порушення адекватності останніх реальному фізичному процесу) приймається окремі припущення, найбільш розповсюджені з яких, наприклад, для зони дозування одночерв’ячного екструдера:

– приймається плоска модель поверхонь черв’яка і циліндра;

– поверхня циліндра рухається відносно поверхонь черв’яка;

– розплав полімеру – рідина нестискнена;

– течія розплаву здійснюється в ізотермічних умовах;

– течію розплаву вважають сталою;

– зневажають силами тяжіння і інерції;

– ковзання розплаву по поверхнях черв’яка і циліндра відсутнє;

– розміри каналу черв’яка постійні.

Умови однозначності

Система розглянутих диференціальних рівнянь описує нескінченну множину конкретних явищ. Щоб з цієї множини виділити досліджуваний процес, необхідно сформулювати умови однозначності, які є математичним описом особливостей саме цього процесу.

Умови однозначності любого процесу поділяються на геометричні, фізичні, крайові.

Геометричні – характеризують форму й розміри тіла або системи, в якій відбувається процес, а в деяких випадках – її орієнтацію в просторі;

Фізичні – характеризують фізичні властивості середовища та інтенсивність внутрішніх джерел теплоти. До основних фізичних характеристик середовища належать: коефіцієнт теплопровідності, питома масова теплоємність, густина, коефіцієнт температуропровідності.

Коефіцієнт теплопровідності  характеризує інтенсивність перенесення теплової енергії на молекулярному рівні. Це кількість теплової енергії, яка передається крізь одиницю ізотермічної поверхні протягом одиниці часу, коли на одиниці довжини нормалі до цієї поверхні температура змінюється на один градус. Одиницею теплопровідності є Вт/(м  К).

Питома масова теплоємність речовини с характеризує здатність тіла акумулювати (накопичувати) теплоту. Одиницею теплоємності є Дж/К.

Істина густина – маса одиниці об’єму матеріалу в абсолютно щільному стані.

Середня густина – маса одиниці об’єму матеріалу, включаючи пори і пустоти (ДСТУ Б А.1.1-5–94). Одиницею густини є кг/м³.

Коефіцієнт температуропровідності а характеризує теплоінерційні властивості речовини, тобто швидкість змінення її температури: a = /(c). Це співвідношення здатностей тіла проводити й накопичувати теплоту. Одиницею температуропровідності є м²/с.

Крайові – складаються з початкових і межових умов.

початкові умови однозначності характеризують особливості процесу в початковий момент часу в нестаціонарних процесах;

межові умови описують особливості реалізації процесу на межах рідкого середовища: розподіл температур на межі , тепловий потік на межі , гідродинамічні характеристики на межі поділу двох фаз: або і т.д.