23. Специальные векторные поля (потенциальное, соленоидальное)

Потенциальным полем называется поле вектора , , если существует скалярная функция такая, что или . При этом функция называется потенциалом вектора .

Итак, потенциальное векторное поле – это безвихревое, бесциркуляционное поле, так как циркуляция вдоль любого замкнутого контура согласно формуле Стокса равна нулю:

Соленоидальным полем называется поле вектора , , если существует вектор-функция , , такая, что или , , В этом случае вектор-функцию называют векторным потенциалом вектора .

Необходимым и достаточным условием того, что поле вектора соленоидально, является выполнение равенства.

24. Разложение произвольного векторного поля.

Пусть , , – произвольное векторное поле. Покажем, что вектор может быть представлен как сумма двух векторов, один из которых представляет потенциальное, а другой – соленоидальное векторное поле.

Пусть вектор . Какой должна быть эта функция , чтобы вектор был соленоидальным?

Поскольку , получим , то есть . Таким образом, чтобы разложить исходный вектор на сумму потенциального и соленоидального векторов, необходимо сначала решить уравнение Пуассона . Такое уравнение всегда имеет решение (и даже бесчисленное множество решений). Определив , мы получим потенциальный вектор . Теперь по построению вектор соленоидальный. Следовательно, требуемое разложение построено.

Вопросы к экзамену по математике

1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

2. Приложения определенного интеграла

3. Несобственные интегралы

4. Понятие функции нескольких переменных. Область существования функции двух переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных.

5. Понятие частной производной. Геометрический смысл частных производных. Якобиан.

6. Полный дифференциал функции двух переменных, инвариантность его формы.

7. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции многих переменных.

8. Необходимое и достаточное условия существования максимума и минимума функции многих переменных.

9. Двойные интегралы. Основные свойства.

10. Вычисление двойного интеграла.

11. Замена переменных.

12. Тройные интегралы. Основные свойства.

13. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.

14. Криволинейные интегралы первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.

15. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода

16. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

17. Поверхностные интегралы первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.

18. Поверхностные интегралы второго рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Связь поверхностных интегралов I и II рода.

19. Формула Остроградского- Гаусса. Формула Стокса.

20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.

21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.

22. Оператор Гамильтона

23. Специальные векторные поля (потенциальное, соленоидальное)

24. Разложение произвольного векторного поля.