- •1. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.
- •2. Приложения определенного интеграла.
- •3. Несобственные интегралы.
- •4. Понятие функции нескольких переменных. Область существования функции двух переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных.
- •5. Понятие частной производной. Геометрический смысл частных производных. Якобиан.
- •7. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции многих переменных.
- •8. Необходимое и достаточное условия существования максимума и минимума функции многих переменных.
- •9. Двойные интегралы. Основные свойства.
- •10. Вычисление двойного интеграла.
- •11.Замена переменных.
- •12. Тройные интегралы. Основные свойства.
- •13. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.
- •14. Криволинейные интегралы первого рода. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.
- •15. Криволинейные интегралы второго рода. Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •16. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
- •17. Поверхностные интегралы первого рода. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.
- •18. Поверхностные интегралы второго рода. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Связь поверхностных интегралов I и II рода.
- •19. Формула Остроградского- Гаусса. Формула Стокса.
- •20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
- •21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.
- •22.Оператор Гамильтона.
- •23. Специальные векторные поля (потенциальное, соленоидальное)
- •24. Разложение произвольного векторного поля.
- •Вопросы к экзамену по математике
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Приложения определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
20. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент.
Пусть задано скалярное поле функции ,
Поверхностью уровня данного скалярного поля называется поверхность, задаваемая уравнением
Скалярное поле может задаваться не только в пространстве, но и в области на плоскости. Линией уровня плоского скалярного поля называется кривая, находящаяся в области задания скалярной функции и задаваемая уравнением
Градиентом скалярного поля , , называется вектор-функция, заданная на A, и равная
С помощью градиента определяют производную функции по направлению. Если – единичный вектор направления, то Как известно, наибольшее изменение в фиксированной точке функция претерпевает в направлении градиента в этой точке.
Производная по направлению.
Производной функции двух переменных по направлению называется выражение
Производной функции трех переменных по направлению называется выражение
21. Векторное поле. Дивергенция, ротор и циркуляция.
Рассмотрим поле вектора ,
Векторной линией данного векторного поля называется линия, касательная к которой в любой точке параллельна вектору поля, определенному в этой точке. Выведем систему уравнений, связывающих дифференциалы векторных линий. Согласно определению вектор параллелен вектору . Следовательно, справедливы соотношения
, которые называются дифференциальными уравнениями векторных линий в пространстве.
Дивергенцией данного векторного поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами является скалярная величина
Циркуляцией вектора , , вдоль некоторой замкнутой ориентированной кривой C , находящейся внутри множества А, назовем следующий криволинейный интеграл второго рода:
Ротором вектора поля с непрерывно дифференцируемыми компонентами назовем следующую векторную величину:
Здесь «умножение» элементов второй строки на элементы третьей строки означает, что от функции из третьей строки берется соответствующая производная.
Ротор иногда называют вихрем, он характеризует вращение поля в данной точке.
22.Оператор Гамильтона.
Для упрощения записи характеристик скалярных и векторных полей был введен символический векторный оператор, имеющий вид . Символическое «умножение» этого оператора на какую-то величину означает, что каждая из компонент оператора применяется к этой величине.
Например, если – скалярная величина, то
Для векторных величин возможно как скалярное, так и векторное умножение. Проследим, что дадут такие произведения с оператором в случае векторного поля .
Скалярное произведение: .
Векторное произведение:
Отдельный интерес представляет определенный для скалярных полей оператор
.
Такой оператор называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими в А функциями.