5. Понятие частной производной. Геометрический смысл частных производных. Якобиан.

Частной производной функции многих переменных по переменной в точке и обозначается .

Геометрический смысл: Пусть , – функция двух переменных. Графическим изображением этой функции является поверхность над областью . Частная производная является тангенсом угла наклона касательной к полученной кривой , лежащей в плоскости , с положительным направлением оси OY в точке . Направляющий вектор этой касательной имеет координаты

Якобиан.

Пусть – -мерная вектор-функция переменных, дифференцируемая в точке . В данном случае производная матрица является квадратной, размера .

Для такой матрицы может быть вычислен определитель. Этот определитель

называется якобианом и обозначается

7. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции многих переменных.

Любая частная производная функции переменных сама также является функцией переменных. Частная производная от частной производной функции многих переменных называется частной производной второго порядка функции Если переменные, по которым берутся производные сначала от функции , а затем от функции , не совпадают, - смешанная частная производная. Обозначения частной производной второго порядка: В том случае, когда и – непрерывные функции в окрестности некоторой точки, в этой точке.

Аналогично вводятся частные производные любого порядка.

Дифференциалы высших порядков.

По аналогии с производными, то есть дифференциалы от дифференциалов. Рассмотрим функцию трех переменных .

Дифференциалом этой функции является выражение .

Формула Тейлора для функции многих переменных.

Как и в случае функций одной переменной:

или

для функций многих переменных формула Тейлора дает связь между приращением функции в точке и ее дифференциалами в этой же точке:

где

8. Необходимое и достаточное условия существования максимума и минимума функции многих переменных.

Необходимое условие:

Пусть – точка экстремума, и функция дифференцируема в точке Необходимым условием экстремума функции многих переменных в точке , где она дифференцируема, является следующее условие: . Точка, в которой все частные производные первого порядка данной функции равны нулю, называется критической точкой этой функции.

Достаточное условие: знак разности в окрестности точки определяется знаком дифференциала второго порядка в точке при всевозможных малых приращениях

Критическая точка с координатами является точкой локального экстремума, если . При этом мы имеем точку минимума, если , и точку максимума, если

9. Двойные интегралы. Основные свойства.

Предел интегральных сумм называется двойным интегралом от по области и обозначается

Свойства:

Двойной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых функций

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

3. Если всюду в области D, то

4. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в области D, имеющей площадь , то

5. Если функция непрерывная в замкнутой области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство

где S площадь области D (теорема о среднем).

6. Если область D разбита на две части и , то