10. Вычисление двойного интеграла.

Предположим, область D выпукла в направлении оси OY, то есть, что граница области D пересекается любой прямой параллельной оси OY либо не более, чем в двух точках, либо по одному отрезку.

Пусть область D расположена между прямыми параллельными оси OY. Эти прямые касаются границы области D или частично совпадают с границей по отрезку.

Участки границы области D, проецирующиеся на интервал , заданы уравнениями соответственно и , . В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла по следующей формуле:

В случае, когда область D не является выпуклой в направлении OY, разобьем область D на подобласти, выпуклые в направлении OY прямыми, параллельными осям координат или будем проецировать область на ось OY и сделаем в повторном интеграле внешний интеграл по переменной y.

11.Замена переменных.

Если переменные в двойном интеграле являются функциями переменных то двойной интеграл от функции по области равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула

12. Тройные интегралы. Основные свойства.

Предел интегральных сумм называется тройным интегралом от по области B и обозначается В общем случае подынтегральная функция может произвольно менять знак.

Свойства:

1. Тройной интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме тройных интегралов от слагаемых функций

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла 3.Если всюду в B, то

4. Если M и m есть соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в трехмерной области B, имеющей объем V, то

5. Если функция непрерывная в трехмерной замкнутой области B, то в этой области найдется по крайней мере одна точка для которой справедливо равенство

где V площадь области B (теорема о среднем).

6. Если трехмерная область B разбита на две части и , то

13. Вычисление тройного интеграла. Замена переменных в тройном интеграле.

Вычисление тройного интеграла, как и вычисление двойного интеграла, сводится к последовательным вычислениям интегралов по отрезкам.

Пусть уравнения поверхностей, ограничивающих тело снизу и сверху (в направлении движения по оси OZ) соответственно, , и . Теперь тройной интеграл можно записать в виде двойного интеграла по области D от интеграла по отрезку с переменными пределами:

Пусть уравнения кривых, ограничивающих область D снизу и сверху (в направлении движения вдоль оси OY) , и Тогда

Замена переменных в тройном интеграле.

Если переменные в тройном интеграле являются функциями переменных то тройной интеграл от функции по трехмерной области B равен интегралу по области от функции , умноженной на модуль якобиана . То есть, справедлива формула