Задача 1.6

Сопоставить последовательно между собой частное распределение единиц наблюдения по группам и структурные распределения совокупных обобщающих признаков – Х1, х2, х3. Сопоставьте в двух вариантах – для групп с 10-ю и 50-ю процентной наполняемостью единицами наблюдения. Построить графики Лоренца и рассчитать коэффициенты Джини.

Решение

Обозначим частное распределение единиц наблюдения по признаку Х1 через «р», а распределение совокупного признака Х1 по этим же группам через «q», совокупного признака Х2 через «q1» и т. д., то согласно условию задачи сопоставим последовательно следующие пары частных распределений 1) «р» и «q», 2) «р» и «q1», 3) «р» и «q3», и соответственно построим графики.

Используя данные задачи 1.3 таблицы 10, рассчитаем кумулятивные итоги путем последовательного суммирования долей признака.

Например, накопленная частота (суммарные итоги долей) для второй группы семей будет равна

Cum q2 = (4,24+6,33) = 10,57 %

для третьей группы Cum q2 = 18,58 % (4,24+6,33+8,01) и т. д.

Накопленные частоты для «р» составят:

cum p2 =10+10 = 20 %; cum p3 = 20+10=30 %

также рассчитываются кумулятивные частоты для 20 % наполняемости единиц распределения признаков х1, х2, х3.

Расчет удельных весов отдельных групп семей и кумулятивных итогов представлен в таблицах 1- 3.

Таблица 1 Сопоставление распределений "р" и " q" признака х1
№ группы	P	q	Cum p	Cum q
10 % наполняемость
1	10	4,24	10	4,24
2	10	6,33	20	10,57
3	10	8,01	30	18,58
4	10	8,88	40	27,46
5	10	9,69	50	37,15
6	10	10,30	60	47,44
7	10	10,83	70	58,28
8	10	12,10	80	70,38
9	10	13,62	90	84,00
10	10	16,00	100	100
Итого	100	100
20 % наполняемость
1	20	10,57	20	10,57
2	20	16,89	40	27,46
3	20	19,98	60	47,44
4	20	22,93	80	70,38
5	20	29,62	100	100,00
Итого	100	100

По данным таблицы 1 строим кривую Лоренца. Для этого построим квадрат 100х100 и по оси абсцисс отложим накопленные итоги единиц совокупности - Cum p, а по оси ординат - накопленные итоги объема явления - Cum q. Соединив соответствующие накопленным итогам точки плавной кривой, получим график Лоренца (рис. 1-2).

При неравномерном распределении семей по денежному доходу в среднем за месяц линия концентрации отходит от прямой линии (диагонали квадрата) и представляет собой вогнутую кривую, причем, чем выше уровень концентрации, тем дальше отходит линия Лоренца от линии равномерного распределения, тем больше ее кривизна.

График показывает наличие заметной степени неравномерности распределении семей по денежному доходу в среднем за месяц.

Рис. 1. Кривая Лоренца распределения признака х1 при 10 % наполняемости групп с неравными интервалами

Рис. 2. Кривая Лоренца распределения признака х1 при 20 % наполняемости групп с неравными интервалами

График менее вогнутый, т. е. неравномерность распределения меньше, чем при 10 % наполняемости групп.

Аналогично строим кривые Лоренца для признаков х2 (рис. 3-4) и х3 (рис. 5-6) по данным таблиц 2 и 3 соответственно.

Таблица 2 Сопоставление распределений "р" и " q" признака х2
№ группы	P	q1	Cum p	Cum q1
10 % наполняемость
1	10	13,09	10	13,09
2	10	8,66	20	21,76
3	10	7,77	30	29,52
4	10	8,03	40	37,55
5	10	9,40	50	46,95
6	10	13,17	60	60,12
7	10	11,78	70	71,90
8	10	9,44	80	81,35
9	10	9,21	90	90,55
10	10	9,45	100	100
Итого	100	100
20 % наполняемость
1	20	21,76	20	21,76
2	20	15,79	40	37,55
3	20	22,57	60	60,12
4	20	21,22	80	81,35
5	20	18,65	100	100,00
Итого	100	100

Рис. 3. Кривая Лоренца распределения признака х2 при 10 % наполняемости групп с неравными интервалами

Рис. 4. Кривая Лоренца распределения признака х2 при 20 % наполняемости групп с неравными интервалами

График показывает наличие почти незаметную степень неравномерности распределении семей по расходу на питание в среднем за месяц, т. к. кривая почти совпадает с диагональю.

Таблица 3 Сопоставление распределений "р" и " q" признака х3
№ группы	P	q2	Cum p	Cum q2
10 % наполняемость
1	10	8,93	10	8,93
2	10	8,93	20	17,86
3	10	7,14	30	25,00
4	10	8,93	40	33,93
5	10	11,61	50	45,54
6	10	12,50	60	58,04
7	10	8,93	70	66,96
8	10	11,61	80	78,57
9	10	11,61	90	90,18
10	10	9,82	100	100
Итого	100	100
20 % наполняемость
1	20	17,86	20	17,86
2	20	16,07	40	33,93
3	20	24,11	60	58,04
4	20	20,54	80	78,57
5	20	21,43	100	100,00
Итого	100	100

Рис. 5. Кривая Лоренца распределения признака х3 при 10 % наполняемости групп с неравными интервалами

Кривая Лоренца распределения размеров семьи представляет линию, не совпадающую с диагональю, в некоторых местах в большей степени. График показывает наличие слабой степени неравномерности распределении семей по размеру.

Рис. 6. Кривая Лоренца распределения признака х3 при 20 % наполняемости групп с неравными интервалами

Теперь рассчитаем коэффициент Джини по формуле:

G = ∑pi*qi+1 - ∑pi+1*qi (1),

где Pi-доля I – й группы,

qi- доля объема доходов I – й группы семей.

Так как pi и qi выражены в процентах, то результат надо разделить на 10 000.

G = (10*10,57+20*18,58+30*27,46+40*37,15+50*47,44+60*58,28+ 70*70,38 + 80*84,0) – (20*4,24+30*10,57+40*18,582+50*27,46+60*37,15+ 70*47,44 + 80*58,28 + 90*70,38)/10000=(2030,2-19064,4)/10000 = 0,124

G = 0,124 характеризует слабую степень неравномерности распределения доходов.

Аналогично рассчитаны коэффициенты Джини и для других признаков. Расчеты сведем в таблицу 4.

Таблица 4

Расчет коэффициентов Джини

Признак	pi*qi-1	pi+1*qi	(pi*qi-1)-(pi+1*qi)	G
10 % наполняемость групп
X1	20302,18	19064,42	1237,77	0,124
X2	24071,78	24072,40	-0,62	-0,000062
X3	23151,79	22633,93	517,86	0,052
20 % наполняемость групп
X1	14669,50	12903,70	1765,81	0,177
X2	16036,74	16067,79	-31,05	-0,003
X3	15714,29	15250	464,29	0,046

Таким образом, расчеты показывают невысокий коэффициент Джини, то есть рассматриваемая совокупность имеет слабую неравномерность.

Коэффициенты Джини при 20 % наполняемости групп в основном меньше, чем при 10 % наполняемости, т. е. неравномерность уменьшается.