Задача 1.10

Проанализировать результаты решения задач 1.8 и 1.9. Принять гипотезу о нормальном распределении частот рассматриваемого вариационного ряда. Произвести его математическое выравнивание с помощью кривой нормального распределения.

Рассчитать критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмагорова. Сопоставить полученные результаты с их табличными значениями. Сформулировать выводы. Изобразить на графике (совместно) эмпирические и теоретические ряды распределения.

Решение

Порядок расчета теоретических частот кривой нормального распределения:

• используем среднюю арифметическую ряда x= 44343,83 и среднее квадратическое отклонение = 14614,17, рассчитанные по сгруппированным эмпирическим данным;

• найдем нормированное отклонение t для верхней и нижней границы интервалов от средней арифметической:

x´ - x

t = ---------- (1)



Например, для 1 группы

t1н = (10000-44343,73)/14614,17 = -2,3500 – для нижней границы первого интервала;

t1в = (21150-44343,73)/14614,17 = -1,5871 – для верхней границы первого интервала и т. д. см. табл. 1, гр. 6-7.

• по таблице распределения функции φ(t) определим ее значения и занесем в таблицу 1, гр. 8-9 (см. 6, стр. 288, табл. приложения 2);

• вычислим вероятность попадания единицы наблюдения в данный интервал при выполнении гипотезы о нормальном законе:

Pj = (F(tj) - F(tj+1))/2 (2),

где │tj│>│tj+1│.

Например для первой группы P1 =(0,9812-0,8882)/2 = 0,0465;

для второй группы P2 =(0,8882-0,5878)/2 = 0,1502 и т. д. см. табл. 1, гр. 10.

• Определяем теоретическую частоту в данной группе, равную произведению объема совокупности на вероятность попадания в данный интервал:

ft = Pj * Ni (3)

где N – объем совокупности (30).

Например, ft1=0,0465*30 ≈ 1 и т. д. (см. табл. 1, гр. 11).

Промежуточные расчеты представлены в таблице 1.

Сумма теоретических частот нормального распределения оказалась меньше суммы эмпирических частот, так как нормальный закон не ограничен рамками фактических минимума и максимума.

Построим и сравним графики эмпирические и теоретических частот (кривых распределения) (см. рис. 1).

Таблица 1

Последовательность расчета теоретических частот

№	Нижние и верхние границы интерва лов	Эмпирические частоты f	Нижние	Верх ние	tj	tj+1	F(tj)	F(tj+1)	Pj	ft
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	10000-21150	2	10000	21150	-2,3500	-1,5871	0,9812	0,8882	0,0465	1
2	21150-32300	5	21150	32300	-1,5871	-0,8241	0,8882	0,5878	0,1502	5
3	32300-43450	6	32300	43450	-0,8241	-0,0612	0,5878	0,0478	0,27	8
4	43450-54600	9	43450	54600	-0,0612	0,7018	0,0478	0,5161	0,2819	8
5	54600-65750	5	54600	65750	0,7018	1,4648	0,5161	0,8584	0,1712	5
6	65750-76900	3	65750	76900	1,4648	2,2277	0,8584	0,9736	0,0576	2
Ито го		30								29

Рис. 1. Эмпирическое и теретическое распределение

После выравнивания ряда проверим «случайность» или «не случайность» расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами, рассчитав критерии согласия.

а) Рассчитаем критерий согласия Пирсона, как сумму отношений квадратов расхождений между f и ft к теоретическим частотам, по формуле:

Σ(f – ft)²

² = ------------- (4)

ft

Промежуточные расчеты представлены в таблице 2.

Таблица 2

Вспомогательная таблица для расчета критерия согласия Пирсона

№	Эмпирические частоты f	Теоретические ft	f-ft	(f-ft)²	(f-ft)²/ft
1	2	1	-1	0,37	0,26
2	5	5	0	0,24	0,05
3	6	8	2	4,41	0,54
4	9	8	-1	0,29	0,03
5	5	5	0	0,02	0,00
6	3	2	-1	1,62	0,94
Сумма	30	29			1,84

² = 1,84

Вычисленное значение критерия² необходимо сравнить с табличным (критическим) значением ²кр. Табличное значение определяется по специальной таблице, оно зависит от принятой вероятности Р и числа степеней свободы k (при этом k = m - 3, где m - число групп в ряду распределения для нормального распределения).

При числе степеней свободы k=3 и при уровне значимости р=0,05 табличное значение критерия Пирсона 7,82 [9, с. 339]

Так как ² = 1,84< ²кр=7,82, то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами распределения признаются случайными и предположение о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

При уровне значимости р=0,01 критерий Пирсона 11,34: и в этом случае предположение о близости эмпирического распределения к нормальному не может быть отвергнуто.

б) Рассчитаем критерий согласия В.И. Романовского К_Ром, который, используя величину , предложил оценивать близость эмпирического распределения кривой нормального распределения при помощи отношения

² - k

Кром = ---------- (4)

√2 k

где m - число групп; k = (m - 3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.

Кром = (1,84 – 3)/2,4495 = -0,474

Так как Кром < 3, то расхождения эмпирических и теоретических частот можно считать случайными, а эмпирическое распределение –соответствующим нормальному.

в) Критерий согласия А.Н. Колмогорова λ используется при определении максимального расхождения между частотами эмпирического и теоретического распределения, вычисляется по формуле:

D

λ = ---------- (5)

√Σf

где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; Σf - сумма эмпирических частот.

По данным таблицы 3, D=1,10 получаем: λ =1,1/5,477 = 0,2008

По таблицам значений вероятностей -критерия можно найти величину , соответствующую вероятности Р [9, с. 339]. Критическое значение критерия Колмагорова при разных уровнях значимости колеблется от 0,19 до 0,29 при 30 единицах наблюдения. Так как рассчитанное значение в этом диапазоне, то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями носят случайный характер.

Таблица 3

Расчет критериев согласия

№	Эмпирические частоты f	Теоретические ft	Накопленные частоты
			Cum f	Cum Ψ	Cum f-Cum Ψ
1	2	1	2	1,40	-0,61
2	5	5	7	5,90	-1,10
3	6	8	13	14,00	1,00
4	9	8	22	22,46	0,46
5	5	5	27	27,59	0,59
6	3	2	30	29
Итого	30	29

Таким образом, по всем трем критериям вполне можно полагать, что расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами носят случайный характер, и гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

На рис. 1 наглядно видно, что теоретические значения немного отличаются от эмпирических.