8. Критерий произведений

Данный критерий имеет следующую формулу расчета:

В этом случае правило выбора формулируется так: матрица решений С дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки, из которого затем выбирается вариант с наибольшим значением.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг с некоторой константой . Результат при этом будет, естественно зависеть от t. На практике чаще всего .

9. Критерий Лапласа

Данный критерий опирается на «принцип недостаточного основания» Лапласа, согласно которому все состояния «природы» S_i, полагаются равновероятными .

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей выигрышей С то для выбора оптимальной стратегии R_j выбирают максимальное значение среди предварительно вычисленных по строкам матрицы средних арифметических значений, дающих наибольший ожидаемый выигрыш, т.е.:

Если в исходной задаче матрица возможных результатов представлена матрицей рисков R, то критерий Лапласа принимает следующий вид:

Пример Телефонная компания должна определить уровень своих возможностей по предоставлению телефонных услуг так, чтобы удовлетворить спрос своих клиентов на планируемый период.

Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень возможностей телефонной компании (например с точки зрения возможных затрат на ввод нового тарифа). Отклонения от этих уровней могут приводить к дополнительным затратам. Ниже приводится таблица, определяющая возможные прогнозируемые затраты на развитие телефонных возможностей:

Варианты предоставляемых компанией телефонных услуг	Варианты спроса на телефонные услуги
	1 (S1)	2 (S2)	3 (S3)	4 (S4)
1 (R1)	7	10	18	22
2 (R2)	9	6	8	25
3 (R3)	21	18	16	21
4 (R4)	24	22	20	26

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Имеются четыре варианта спроса на телефонные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S₄. Известны также четыре варианта предоставляемых компаний телефонных услуг: R₁, R₂, R₃, R₄.

Решение

Критерий Лапласа.

Он предполагает, что S₁, S₂, S₃, S₄ равновероятны, т.е.

Тогда ожидаемые затраты при различных действиях R₁, R₂, R₃, R₄ составляют:

W{R₁} = 0,25 * (7 + 10 + 18 + 22) = 14,25;

W{R₂} = 0,25 * (9 + 6 + 8 + 25) = 12;

W{R₃} = 0,25 * (21 + 18 + 16 + 21) = 19;

W{R₄} = 0,25 * (24 + 22 + 20 + 26) = 23.

Таким образом, наилучшей стратегией развития телефонных возможностей в соответствии с критерием Лапласа будет R₂.

Критерий Вальда. Так как представляет потери (затраты), то применим максиминный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в следующей таблице:

С остояния Si Стратегия Rj	Затраты ( ), ден. един.				Max ( )	Min max ( )
	S1	S2	S3	S4
R1	7	10	18	22	22	-
R2	9	6	8	25	25	-
R3	21	18	16	21	21	21
R4	24	22	20	26	26	-

Наилучшей стратегией развития телефонных возможностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» (критерий Вальда) будет третья (R₃).

Критерий Сэвиджа.

Заданная матрица определяет потери (затраты). Вычислим элементы матрицы рисков r_ij и запишем их в следующую таблицу:

С остояния Si Стратегия Rj	Величина риска (rji)				Max (rij)	Min max (rij)
	S1	S2	S3	S4
R1	0	4	10	1	10	-
R2	2	0	0	4	4	4
R3	14	12	8	0	14	-
R4	17	16	12	5	17	-

Полученные результаты вычислений с использованием критерия минимального риска Сэвиджа привели к выбору второй стратегии (R₂), обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Критерий Гурвица.

Положим k = 0,5. Результаты необходимых вычислений приведены в таблице:

	S1	S2	S3	S4	min	max
R1	7	10	18	22	7	22	14,5	14,5
R2	9	6	8	25	6	25	15,5	-
R3	21	18	16	21	16	21	18,5	-
R4	24	22	20	26	20	26	23	-

Оптимальное решение заключается в выборе W₁.

Таким образом, далее лицу принимающему решение (ЛПР) в примере предстоит сделать выбор, какое из возможных решений предпочтительнее:

по критерию Лапласа — выбор стратегии R₂,

по критерию Вальда — выбор стратегии R₃,

по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R₂,

по критерию Гурвица при k = 0,5 - выбор стратегии R₁.