6.4 Расчет цепей несинусоидального переменного тока по комплексным значениям
При расчете цепей несинусоидального тока по комплексным значениям можно воспользоваться рядом Фурье, представленном в комплексной форме, как показано в разделе 6.1:
Следует отметить, что членам этого ряда придаются отрицательные и положительные номера, поэтому при определении отдельных гармоник берется полусумма двух членов ряда. Это несколько затрудняет использование ряда Фурье в комплексной форме, поэтому чаще пользуются представлением несинусоидальных функций в виде суммы только положительных членов ряда, которую записывают в следующем виде:
,
где
-комплексная
амплитуда функции f(t).
Комплексные
амплитуды зависят от дискретных значений
частоты kw1
и образуют комплексный частотный спектр
колебания f(t).
Следует отметить, что каждый комплексный
коэффициент
определяет амплитуду
и начальную фазу ak(kw1)гармонического колебания. Для определения комплексной амплитуды можно использовать формулу:
где x=wt-текущая угловая координата функции.
Кроме этого, для записи комплексного значения функции можно использовать мгновенные значения, приведенные в таблице 6.1 При этом возможен гибридный метод расчета, когда мгновенное значение несинусоидальной функции, представленное в виде суммы мгновенных значений гармоник, рассматривается как последовательность комплексных амплитуд. В этом случае расчет реакции производится не в общем виде, а в виде суммы мгновенных значений отдельных составляющих, каждая из которых вначале определяется в комплексной форме, а затем находится ее мгновенное значени. Покажем порядок такого расчета на примере 6.2.
Пример 6.2. К электрической цепи, схема которой изображена на рис. 6.4а, приложено несинусоидальное периодическое напряжение, полученное в результате выпрямления синусоидального напряжения. Форма этого напряжения приведена на рис. 6.4б. Параметры цепи имеют следующие значения: r2=rн=10 Ом; L1=L3=0,1 Гн; C2=100 мкФ; Em=100 В; ω1=100 рад/с.
Требуется выполнить следующие операции:
1) разложить напряжение источника y=e(x)=e(ωt) в ряд Фурье, ограничив число членов ряда постоянной составляющей и тремя его первыми гармониками;
2) построить графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения источника;
3) определить напряжение на нагрузке uн(t), используя метод расчета по комплексным значениям;
4) построить графики спектральных составляющих для напряжения на нагрузке;
5) определить действующее значение выходного напряжения и мощность, рассеиваемую в нагрузке;
6) выполнить оценку влияния высших гармоник на мощность, поступающую в нагрузку.
0
а) б)
Рис. 6.4 Схема цепи (а) и форма входного напряжения (б) к примеру 6.2
Решение:
1. Воспользуемся данными табл. 3.1. (вариант 8) и представим напряжение источника в виде ряда Фурье, ограниченного постоянной составляющей и тремя первыми гармониками:
2. Построим графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения источника, которые изображены на рис. 6.5а, б. При построении графиков используем масштаб, при котором одно деление по оси ординат соответствует 10 В, а по оси абсцисс – 100 Гц.
а) б)
Рис. 6.5 Спектры амплитуд (а) и фаз (б) входного сигнала к примеру 6.2
3. Теперь выполним расчет напряжения на нагрузке, используя для этого метод комплексных амплитуд.
Для постоянной составляющей напряжения на нагрузке, используя схему замещения, приведенную на рис. 6.6а, получим следующее значение:
При выполнении этого расчета учтено, что на постоянном токе индуктивности L1, L2 можно заменить перемычками, а емкость C1 – разрывом цепи, как показано на рис. 6.6а. Ток в нагрузке определим по закону Ома:
а) б)
Рис. 6.6 Схемы для расчета постоянной (а) и переменных (б) составляющих выходного напряжения
При расчете напряжения на нагрузке для гармоник напряжения e(t) источника можно пользоваться схемой замещения, приведенной на рис. 6.6б. На этой схеме все элементы цепи заменены их комплексными сопротивлениям, которые имеют двойные индексы. первый индекс соответствует порядковому номеру ветви, а второй- номеру гармоники. Комплексные значения токов определим по формулам:
где
-
комплексное сопротивление цепи для k-й гармоники напряжения источника,
,
,
в
которых учтено что ток
делится в ветвях схемы на два тока,
которые обратно пропорциональны
сопротивлениям ветвей.
Для первой гармоники получим напряжения на нагрузке, пользуясь схемой замещения:
;
Ом
–сопротивления цепи для первой гармоники напряжения источника.
Комплексная амплитуда тока первой гармоники источника имеет значение:
Этот
ток делится обратно пропорционально
сопротивлениям параллельно включенных
ветвей
и
,
поэтому ток в нагрузке имеет значение:
Комплексное значение напряжения на нагрузке определим по закону Ома:
Полученное значение позволяет записать мгновенное значение первой гармоники напряжения на нагрузке:
Вторую гармонику напряжения на нагрузке определим, используя в схеме замещения, изображенной на рис. 6.6б, сопротивления цепи и напряжение источника для второй гармоники
Значение комплексной амплитуды тока второй гармоники в цепи источника напряжения найдем по закону Ома:
Комплексную амплитуду тока второй гармоники в нагрузке rн найдем аналогично току первой гармоники путем деления тока источника обратно пропорционально сопротивлениям параллельно включенных ветвей:
Комплексное значение напряжения второй гармоники на нагрузке найдем с помощью закона Ома:
Полученное значение позволяет записать мгновенное напряжение второй гармоники на нагрузке:
Определение напряжения четвертой гармоники выполним аналогично расчету напряжения второй гармоники. Сопротивления цепи и напряжение источника для четвертой гармоники имеют значения:
Комплексную амплитуду тока четвертой гармоники определим по закону Ома:
Используя ток четвертой гармоники в ветви с источником напряжения, рассчитаем ток в нагрузке:
Комплексное значение четвертой гармоники напряжения на нагрузке определим по закону Ома:
Мгновенное значение четвертой гармоники напряжения на нагрузке определим по формуле:
Результирующее напряжение на нагрузке найдем путем суммирования отдельных составляющих, рассчитанных выше:
Графики
напряжений источника e(t)
и на нагрузке
изображены на рис. 6.7.
Рис. 6.7 Графики входного и выходного напряжений
а) б)
Рис. 6.8. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры выходного напряжения
4. Построим графики спектральных составляющих напряжения на нагрузке, используя полученное выше мгновенное значение напряжения. График амплитудно-частотного спектра изображен на рис. 6.8а, а график фазочастотного спектра - на рис.6.8б.
Эти графики показывают, что электрическая цепь, включенная между источником и нагрузкой, оказывает определенное сглаживающее действие: амплитуды спектральных составляющих уменьшаются по мере увеличения их частоты. Кроме этого, заметно существенное запаздывание выходного сигнала по отношению к напряжению источника.
5. Определим действующее значение напряжения на нагрузке и среднюю мощность, рассеиваемую в ней. Действующее напряжение на нагрузке можно рассчитать по формуле:
где
- постоянная составляющая выходного
напряжения;
- действующее
значение напряжения первой гармоники;
- действующее
значение напряжения второй гармоники;
- действующее
значение напряжения четвертой гармоники.
После подстановки действующих значений напряжений гармоник получим действующее значение несинусоидального напряжения:
Средняя мощность несинусоидального тока определяется по формуле:
где
- мощность постоянной составляющей
тока;
- средняя мощность
первой гармоники тока;
- средняя мощность
второй гармоники тока;
- средняя мощность
четвертой гармоники тока;
Таким образом, средняя мощность несинусоидального тока имеет значение:
Из этого выражения следует, что средняя мощность почти полностью определяется постоянной составляющей и первой гармоникой тока. Вклад высших гармоник весьма незначителен и составляет всего 1,6 % от полной мощности, рассеиваемой в нагрузке.
Пример 6.3. Требуется разложить в ряд Фурье знакопеременную прямоугольную функцию, показанную на рис 6.9.
рис 6.9
Решение:
Эта функция удовлетворяет условиям
Заданная
функция нечетна и, кроме того, симметрична
относительно оси абсцисс при совмещении
полупериодов. Поэтому в разложении в
ряд отсутствуют постоянная составляющая,
все косинусоиды и четные синусоиды.
Кроме того, выполняется условие
.
Поэтому
для определения коэффициентов bn
воспользуемся
формулой :
где п — нечетно. Отсюда
.
Пример
6.4.
Требуется найти разложение в ряд Фурье
функции изображенной на рис 6.10, использовав
результаты примера
6.3.
Функция на рис. 6.11 получается при переносе
начала координат на рис 6.10 (точка О)
вправо на отрезок
.
рис 6.11
Решение:
Следовательно, в соответствии с
получим
Пример
6.5.
Вычислить суммарный ток в схеме(рис
6.12),
если задано:
рис 6.12
Решение:
Искомый ток находится методом наложения, т. е. поочередным вычислением постоянной слагающей и гармоник тока, с последующим суммированием их.
Сопротивление постоянному току
Постоянная слагающая тока
Комплексное сопротивление цепи для основной частоты.
Комплексная амплитуда тока основной частоты
Комплексное сопротивление цепи для утроенной частоты
Комплексная амплитуда тока третьей гармоники
Мгновенное значение суммарного тока
Пример 6.6 Вычислить активную мощность, поступающую в цепь в примере 6.5.
Решение
На основании
получим
