4 Резонанс в электрических цепях

Задача 4.1. В цепи с последовательно соединенными R, L и С наступает резонанс напряжений при угловой частоте 500 рад/сек; R = 34 Ом; L= 400 мГн; напряжение на зажимах цепи Определить емкость С и мгновенные значения тока и напряжений на элементах цепи; построить векторную диаграмму.

Решение:

=500 рад/сек., R = 34 Ом, L = 400 мГн., .

, 500 рад/сек = ;

мкФ.

A;

В.

Задача 4.2 Цепь состоит из индуктивной катушки (RL) и емкости, соединенных последовательно. Напряжение на зажимах 120 В. Определить напряжение на катушке при резонансе, если при этом напряжение на емкости равно 208 В.

Решение

U_C =208 B, U_R =120 B.

Задача 4.3. Вычислить резонансную частоту и частоты, при которых напряжения на L и C максимальны цепи с последовательно соединенными R=50 Ом; L=10 мГц и С=1 мкФ.

Решение:

R=50 Ом, L=10 мГн, С=1 мкФ.

рад/сек.

.

.

Задача 4.4. Вычислить резонансную частоту и добротность контура, состоящего из последовательно соединенных R=50 Ом; L=65·10 ^-6 Гн, С=1,56·10^-9 Ф. Определить сопротивление цепи при частоте, превышающей резонансную на 1%.

Решение:

Гц.

Задача 4.5. Резонанс напряжений в контуре R, L, C наступает при частоте 1 МГц. Полоса пропускания резонансного контура равна 5000 Гц; сопротивление цепи при резонансе 50 Ом. Найти R, L и C.

Решение:

;

.

Задача 4.6. Резонанс напряжений в контуре R, L, C, наступает при 1,5 МГц; добротность контура равна 250. Вычислить частоты, соответствующие половинной мощности.

Решение:

Задача 4.7. Последовательно с L включен участок цепи, состоящий из параллельно соединенных R и C. При частоте 1000 Гц индуктивное и емкостное сопротивления элементов L и C равны каждое 100 Ом; R=200 Ом. Вычислить резонансную частоту и проводимость цепи при резонансе, пояснить явления резонанса в заданной цепи.

Решение:

.

Задача 4.8. Если в цепи сопротивление R превысит определенное значение, то резонанс токов будет невозможен. Пояснить это физически и привести условие, при котором резонанс невозможен.

Ответ: R₁<, .

5. Цепи трехфазного тока

Задача 5.1. Найти фазные и линейные токи в цепи и построить векторную диаграмму, если линейное напряжение равно 120 В и между проводами А и В включена лампа мощностью 60 Вт.

Решение.

На схеме указываем положительные направления токов.

Ток равен:

В треугольнике векторов симметричных линейных напряжений вектор тока I_АВ совпадает по направлению с вектором напряжения U_АВ, так как угол сдвига фаз φ_AB=0.

На основании первого закона Кирхгофа можно записать следующие уравнения:

Допустим, что между проводами В и С включили вторую лампу такой же мощности как и первая, тогда ток находится по формуле:

Вектор тока I_BC совпадает по направлению с вектором напряжения U_BC . так как φ_BC=0.

Вектор фазного тока I_АB не изменился, так как включение лампы между проводами В и С не изменит напряжения U_AB.

На основании первого закона Кирхгофа запишем уравнения:

Эти соотношения отражены на векторной диаграмме. Теперь между точками С и А включим третью лампу, аналогичную первым двум.

Это не изменит фазных токов I_АВ и I_BC, но отразится на двух линейных токах I_А и I_C.

Фазный ток будет равен:

Вектор фазного тока на векторной диаграмме совпадает по направлению с вектором напряжения , так как нагрузка активная.

На основании первого закона Кирхгофа:

Уравнения (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) и (8) устанавливают зависимость при соединении треугольником между линейными и фазными токами.

Таким образом, режим в каждой фазе в соединении треугольником не зависит от режимов в других фазах, если действующие значения линейных напряжений сети постоянны и не зависят от нагрузки.

Линейный ток при соединении фаз приемника треугольником равен разности векторов тех двух фазных токов, которые связаны с ним первым законом Кирхгофа.

На рис. 4.1, е для построения вектора , равного разности , взята сумма векторов .

Векторы и равны по модулю и противоположны по направлению.

Если бы система была симметричной, например, при активно-индуктивной нагрузке фаз, то фазные токи отставали бы от соответствующих фазных напряжений на угол φ=arctg(x₁/r) и на векторной диаграмме векторы фазных токов , и были бы сдвинуты на угол φ от векторов напряжений , и в сторону отставания. В остальном построение векторной диаграммы ведется так же.

Таким образом, для симметричной системы угол сдвига фаз определяет расположение каждого треугольника токов относительно треугольника линейных напряжений.

Задача 5.2. В схеме напряжение между каждым линейным проводом и нейтралью равно 120 В. Лампа мощностью 60 Вт включается между проводом А и нейтралью O₁. Определить токи в проводах и построить векторную диаграмму.

Решение:

Ток равен:

Вектор тока совпадает по направлению с вектором напряжения , так как φ_а =0.

Согласно первому закону Кирхгофа,

Если присоединить вторую такую же лампу между проводом В и нейтралью O₁ , то в лампе установится ток

Ток I_B совпадает по фазе с фазным напряжением U_B, следовательно, его вектор совпадает по направлению с вектором напряжения .

На основании первого закона Кирхгофа для точки О₁

_,

т.е., вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов токов и .

Если присоединить третью лампу, аналогичную первым двум, между проводом С и нейтралью О₁, то получим три однофазных приемника энергий, которые будут включены по схеме соединения звездой. Режим- симметричный.

Ток

не изменит токов I_А и I_В .

Ток в нулевом проводе, согласно первому закону Кирхгофа, для точки О:

_.

При симметричном режиме этот ток равен нулю.

Аналогично решались бы задача и в случае различных мощностей. Если бы эти приемники были активно-индуктивными (например катушки), то векторы фазных токов надо было бы отложить в сторону отставания относительно соответствующих векторов фазных напряжений, с учетом фазного угла отставания. Векторная диаграмма в рассматриваемом соединении проста, так как векторы всех фазных токов и напряжений имеют общее начало в точке О₁, которая совпадает с центром тяжести равностороннего треугольника напряжений.

Задача 5.3. К четырехпроводной трехфазной цепи с линейным напряжением 380 В присоединены электрические лампы между линейными проводами и нейтральным проводом и активно-индуктивный симметричный трехфазный приемник энергии, имеющий полную мощность 5,7 кВт и cosφ=0.866. Мощности фаз равны: Р_А = 1,1 кВт; Р_н = 2,2 кВт; Р_с = 3,3 кВт.

Определить токи в линейных и нейтральном проводах цепи.

Решение:

Преимущество трехфазных цепей с нейтральным проводом состоит в том, что фазные напряжения ламп равны и образуют симметричную трехфазную систему:

_.

Поскольку лампы обладают только активными сопротивлениями, то соответствующие токи будут равны:

Согласно первому закону Кирхгофа, для нейтральной точки О

Для построения векторной диаграммы удобно выбрать масштаб m_U =5 B/мм, m_I =0,5 А/мм. Сначала откладываем векторы фазных напряжений , и

Векторы фазных токов ламп будут совпадать с векторами напряжений, так как для ламп φ_А =φ_в =φ_с =0. Произведя геометрическое сложение токов, получаем

Данный трехфазный приемник активно-индуктивный и, следовательно, фазные токи , и равные между собой по величине, отстают по фазе от напряжений , и на угол φ= 30° (коэффициент мощности cosφ= 0.866 соответствует углу сдвига фаз φ= 30°).

рис 5.1-векторная диаграмма

По векторной диаграмме строим векторы токов , и .

Применяя первый закон Кирхгофа для узлов А, В, С, находим из диаграммы векторы линейных токов трехфазного приемника

Для симметричного приемника эти токи больше в √3 раза фазных токов , и .

Суммарные токи в линейных проводах определяются геометрическим сложением их векторов:

Задача 5.4. Обмотки трехфазного электродвигателя соединены треугольником. В эквивалентной схеме замещения каждая обмотка представлена активным и индуктивным сопротивлениями r = 60 Ом; x_L =11 Ом. Напряжение между проводами линии в месте присоединения электродвигателя U_AB=U_BC=U_CA=6100 B. Каждый из проводов линии имеет активное сопротивление r_Л = 1 Ом и индуктивное x_Л = 2,9 Ом.

Определить напряжение между проводами в начале линии.

Решение.

Полное сопротивление фазной обмотки электродвигателя равно:

.

В схеме соединения треугольником каждая фаза включена на линейное напряжение, поэтому токи в фазах треугольника можно найти по закону Ома:

Следовательно, токи в проводах линии, подведенной к этой схеме, могут быть найдены по формуле:

Линейные напряжения на входе линии определим сложением векторов фазных напряжений электродвигателя и векторов падений напряжения соответствующих участков линий. Для этого заменим схему соединения треугольником эквивалентной схемой соединения звездой.

Комплексное сопротивление фазной обмотки электродвигателя будет равно:

.

Комплексное сопротивление луча звезды, эквивалентной симметричному треугольнику, в три раза меньше комплексного сопротивления стороны этого треугольника:

отсюда

.

Полное сопротивление неразветвленного участка, состоящего из провода линии и луча эквивалентной звезды:

При токе фазное напряжение на этом участке равно:

Так как линейное напряжение в √3 раза больше фазного напряжения, то в начале линии оно равно:

Ответ. U_AB=6600 В.