6.3 Расчет цепей несинусоидального переменного тока по мгновенным значениям

В линейных электрических цепях несинусоидальный ток может присутство­вать в двух случаях:

►► при негармонических источниках напряжения или тока;

►► при наличии в цепи гармонических источников с кратными частотами.

Рассмотрим особенности расчета цепей в этих двух случаях. При негармо­нических воздействиях алгоритм расчета цепи может быть следующим:

1) периодическое негармоническое воздействие представляют в виде сум­мы гармонических сигналов, используя ряд Фурье;

2) ограничивают бесконечный ряд Фурье некоторым числом гармоник, учитывая при этом, что мощность каждой последующей гармоники убывает пропорционально квадрату ее амплитуды;

3) выполняют расчет цепи для каждой отдельной гармоники напряжения или тока, учитывая при этом, что структура цепи сохраняется, а со­противления и проводимости реактивных элементов изменяются с изменением частоты гармоники;

4) результирующую реакцию цепи находят при помощи метода наложе­ния путем сложения реакций для отдельных гармоник воздействия.

При наличии в цепи нескольких гармонических источников с кратными частотами алгоритм расчета несколько изменяется. Из рассмотренной выше последовательности расчета исключаются операции разложения воздействия в ряд Фурье. Кроме этого, структура цепи может изменяться в зависимости от

места включения отдельных источников. В результате алгоритм расчета будет содержать только два этапа:

1) расчет цепи для каждого отдельного источника напряжения или тока с учетом изменения структуры цепи и параметров входящих в нее элементов;

2) определение результирующей реакции с помощью метода наложения.

Пример 6.1 К электрической цепи, схема которой изображена на рис. 6.1а, приложено периодическое несинусоидальное напряжение форма которого приведена на рис. 6.1б. Параметры элементов схемы имеют следующие значения: r_Н = 10 Ом; L = 0,1 Гн; C = 111 мкФ; E_m = 314 В; ω₁ = 100 рад/c.

Требуется выполнить следующее:

1)представить напряжение e(t) в виде суммы первых трех членов ряда Фурье;

2) построить графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения e(t);

3) рассчитать спектральные составляющие напряжения на нагрузке r_Н;

4) построить графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения на нагрузке r_Н;

5) рассчитать действующие значения напряжения источника, напряжения и тока в нагрузке;

6) рассчитать среднюю, реактивную и полную мощности, потребляемые схемой;

7) определить мощность искажений и коэффициент искажений.

Решение

1. При разложении функции напряжения источника в ряд Фурье воспользуемся данными табл. 6.1, в которой приведены некоторые

типовые воздействия и их разложения. Для заданного в задаче напряжения получим:

В.

2. График спектра амплитуд гармоник напряжения источника изображен на рис. 3.1в. Спектр начальных фаз гармоник напряжения источника не приводится, так как все начальные фазы равны нулю.

3. При расчете гармоник напряжения и тока в нагрузке схему, изображенную на рис. 3.1а, следует привести к канонической форме. Для этого необходимо заменить ветвь с источником напряжения е(t) и индуктивностью L эквивалентным источником j(t) с проводимостью b_k. Для этого прежде всего необходимо заменить источник напряжения e(t) с сопротивлением x_Lk=kω₁ L эквивалентным источником тока, параметры которого имеют значения:

j(t)=J_m1sin(100t - 90º) + J_m3sin(300t - 90º) + J_m5sin(500t - 90º),

где J_m1=E_m1/ω₁L = 400/10 = 40 A; J_m3= E_m3/3ω₁L = 133/30 = 4,43 A;

J_m5= E_m5/5ω₁L = 80/50 = 1,6A.

Полные проводимости для гармоник эквивалентного источника тока найдем по формулам:

b₁ = b_L1 – b_C1 = 1/(ω₁L) – ω₁C = 0,1 – 0,011 = 0,089 Сим;

рис. 6.1 Схема цепи (а), напряжение источника (б), спектр амплитуд (в) к примеру 6.1

Результирующая схема после замены источника напряжения эквивалентным источником тока приведена на рис. 6.2а.

а)

рис 6.2 а

Теперь можно определить напряжение и ток в нагрузке r_н:

где: - амплитуды гармоник напряжения на нагрузке;

а проводимости y_kимеют следующие значения:

;

откуда находим:

б)

Рис. 6.2б Преобразованная схема (а), спектр амплитуд (б) и спектр фаз напряжения на нагрузке (в)

Углы сдвига фаз гармоник тока источника и напряжений на нагрузке имеют значения:

Таким образом, мгновенное значение напряжения на нагрузке определяется по формуле:

а ток в нагрузке равен

4. Амплитудный и фазовый спектры напряжения на нагрузке, построенные по результатам расчёта, приведены на рис. 3.2б,в. Из этого графика видно, что все гармоники напряжения на нагрузке отстают от гармоник приложенного напряжения, причём фазовый сдвиг растёт с ростом частоты гармоники.

5. Определим действующие значения напряжения источника, напряжения и тока в нагрузке:

6. Определим среднюю и реактивную мощности, потребляемые схемой:

где:

Полную мощность, потребляемую цепью, можно определить по формуле:

;

где - действующее значение тока источника.

В результате полная мощность источника имеет значение:

;

7. Найдем мощность искажений

;

и коэффициент искажений

k_D = D/S= 810/6079=0,133.

8. Рассчитаем коэффициент мощности

что соответствует сдвигу фаз между эквивалентными синусоидами напряжения и тока источника φ_э=41^о.