2. Свободные затухающие колебания

При наличии силы трения (r ≠0) и отсутствии внешней периодической силы (F₀ =0) уравнение движения имеет вид: (8),

где β называется коэффициентом затухания колебаний. В случае слабого затухания (β – мало) решением такого дифференциального уравнения является функция : (9). В этом можно убедиться прямой подстановкой (9) в уравнение (8). – частота колебаний системы с затуханием. A=A₀·e^-βt – амплитуда затухающих колебаний.

Т аким образом, амплитуда колебаний убыва­ет по экспоненциальному закону. Вместе с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, т.к. W~A².

Степень убывания амплитуды определяется коэффициен­том затухания β. Время τ=1/β, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е=2.7183 раз, называют по­стоянной времени затухания колебаний.

Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина θ, называемая лога­рифмическим декрементом затухания. По определению:

(10).

Скорость убывания энергии в системе с зату­ханием характеризует добротность Q:

(11),

где W – энергия, запасенная в системе, (–ΔW) – энергия, теряемая системой за период. Добротность показывает, во сколько раз энер­гия, запасенная в системе, больше энергии, те­ряемой за период. Добротность можно выразить через параметры системы и логарифмический декремент затухания θ, учитывая, что W~A²:

(12).

В случае сильного затухания ( ) колебательный процесс не развивается: система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, просто медленно возвращается к нему. Это т.н. апериодический процесс.

3. Вынужденные колебания. Резонанс.

Для того чтобы возбудить в системе незату­хающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением (сопротивлением). Такая компенсация может производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы F(t). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колеба­ния называются вынужденными.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний имеет вид (2):

.

Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2 порядка; его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение уравнения колебаний с затуханием, рассмотренное ранее. Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения: x =A ·cos(Ωt –φ ) (13), описывающее установившиеся колебания с частотой Ω вынуждающей силы.

Величины амплитуды A и сдвига фазы φ по отношению к фазе вынуждающей силы зависят от соотношения между собственной частотой ω₀ системы и Ω, а также от затухания, действующе­го в системе:

; (14).

П ри некоторой частоте Ω₀ вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Это явление называется резонан­сом (резонансом смещения). На рис. изображены резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания β. Частота ω_рез = Ω₀

называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкорен­ное выражение для A в формуле (14): (15).

Амплитуда при резонансе получается подстановкой Ω₀ в выражение для амплитуды:

(16).