Источники ошибок

На точность определения координат существенное влияние оказывают ошибки, возникающие при выполнении процедуры измерений. Природа этих ошибок различна.

1. Неточное определение времени. При всей точности временных эталонов ИСЗ существует некоторая погрешность шкалы времени аппаратуры спутника. Она приводит к возникновению систематической ошибки определения координат около 0.6 м.

2. Ошибки вычисления орбит. Появляются вследствие неточностей прогноза и расчета эфемерид спутников, выполняемых в аппаратуре приемника. Эта погрешность также носит систематический характер и приводит к ошибке измерения координат около 0.6 м.

3. Инструментальная ошибка приемника. Обусловлена, прежде всего, наличием шумов в электронном тракте приемника. Отношение сигнал/шум приемника определяет точность процедуры сравнения принятого от ИСЗ и опорного сигналов, т.е. погрешность вычисления псевдодальности. Наличие данной погрешности приводит к возникновению координатной ошибки порядка 1.2 м.

4. Многопутность распространения сигнала. Появляется в результате вторичных отражений сигнала спутника от крупных препятствий, расположенных в непосредственной близости от приемника. При этом возникает явление интерференции, и измеренное расстояние оказывается больше действительного. Аналитически данную погрешность оценить достаточно трудно, а наилучшим способом борьбы с нею считается рациональное размещение антенны приемника относительно препятствий. В результате воздействия этого фактора ошибка определения псевдодальности может увеличиться на 2.0 м.

5. Ионосферные задержки сигнала. Ионосфера – это ионизированный атмосферный слой в диапазоне высот 50 – 500 км, который содержит свободные электроны. Наличие этих электронов вызывает задержку распространения сигнала спутника, которая прямо пропорциональна концентрации электронов и обратно пропорциональна квадрату частоты радиосигнала. Для компенсации возникающей при этом ошибки определения псевдодальности используется метод двухчастотных измерений на частотах L1 и L2 (в двухчастотных приемниках). Линейные комбинации двухчастотных измерений не содержат ионосферных погрешностей первого порядка. Кроме того, для частичной компенсации этой погрешности может быть использована модель коррекции, которая аналитически рассчитывается с использованием информации, содержащейся в навигационном сообщении. При этом величина остаточной немоделируемой ионосферной задержки может вызывать погрешность определения псевдодальности около 10 м.

6. Тропосферные задержки сигнала. Тропосфера – самый нижний от земной поверхности слой атмосферы (до высоты 8 – 13 км). Она также обуславливает задержку распространения радиосигнала от спутника. Величина задержки зависит от метеопараметров (давления, температуры, влажности), а также от высоты спутника над горизонтом. Компенсация тропосферных задержек производится путем расчета математической модели этого слоя атмосферы. Необходимые для этого коэффициенты содержатся в навигационном сообщении. Тропосферные задержки вызывают ошибки измерения псевдодальностей в 1 м.

7. Геометрическое расположение спутников. При вычислении суммарной ошибки необходимо еще учесть взаимное положение потребителя и спутников рабочего созвездия. Для этого вводится специальный коэффициент геометрического ухудшения точности PDOP (Position Dilution Of Precision), на который необходимо умножить все перечисленные выше ошибки, чтобы получить результирующую ошибку. Величина коэффициента PDOP зависит от взаимного расположения спутников и приемника. Она обратно пропорциональна объему фигуры, которая будет образована, если провести единичные векторы от приемника к спутникам. Большое значение PDOP говорит о неудачном расположении ИСЗ и большой величине ошибки. Типичное среднее значение PDOP колеблется от 4 до 6.

Варіант 2

Навігаційне повідомлення GPS - супутника

Навігаційне повідомлення супутника GPS має обсяг 1500 біт і передається за 30 секунд. Повідомлення складається з п'яти блоків по 10 слів у кожному (Рис. 1). Кожний блок починається зі слова з телеметричною інформацією. Друге слово містить ключ – відмітку часу, за змістом. Кожне слово завершується шести бітовою перевірочною послідовністю.

Рис. 1. Формат кадру навігаційного повідомлення

(зверху вказано зміст поля, знизу - розмір поля даних в бітах)

Шести бітова послідовність несе інформацію про працездатність супутника: якщо старший біт встановлено в нуль, то всі навігаційні дані є повноцінними, якщо в одиницю – всі або частина даних непридатні.

В таблиці 1 подано характеристики параметрів, що передаються в першому блоці.

Параметри  та   визначають коефіцієнти затримки при розповсюдженні сигналу в іоносфері.  – коефіцієнт групової затримки радіосигналу. – час відправки першого блоку, визначений від початку тижня. Тд – термін давнини даних корекції годинника супутника. Параметри   визначають поправку годинника супутника:

Таблиця 1. Інформація в першому блоці

В другому та третьому блоках передається ефемеридна інформація супутника (табл. 2): середня аномалія , ексцентриситет е, квадратний корінь з великої напівосі , довгота висхідного кута , схилення орбіти , аргумент перигею . Всі дані віднесені до моменту часу . Також передаються змушене значення середнього руху , швидкість зміни висхідного кута   та амплітуди синусоїдальної та косинусоїдальної гармонік: впродовж орбіти  та , по боковому схиленню   та , по геоцентричному радіусу та .

Таблиця 2. Дані ефемерид в другому та третьому блоках.

Дані четвертого блока призначені для американських військових і для інших користувачів GPS недоступні.

В п'ятому блоці передаються дані альманаху. Супутник передає альманах всієї супутникової системи, розміщуючи в п'ятому блоці почергово дані про кожний супутник. Кожне повідомлення містить номер супутника id, дані про його стан Ст., параметри поправки його годинника , параметри його орбіти: ексцентриситет , корінь величини великої напівосі , середню аномалію , довготу висхідного кута , аргумент перигею , відхилення від номінального схилення    – віднесені до моменту  та швидкість зміни висхідного кута   (табл. 3).

Таблиця 3. Дані альманаху в п'ятому блоці.

Період повтору інформації, що міститься в першому – третьому блоках складає 30 секунд. В п’ятому блоці поступово передаються 25 різних повідомлень альманаху. Загалом навігаційне повідомлення складає – 37500 біт і передається на протязі 12,5 хвилин. Інформація ефемерид, параметрів поправки годинників та моделі іоносфери поновлюється кожні 30 хвилин.

Сигнали GPS- супутників

Супутники GPS передають два сигнали на частотах =1575.42 МГц та =1227.6 МГц, утворених на основі еталонної частоти   = 10.23 МГц. Відповідно довжина хвиль становить λ₁ = 19.0 см та λ₂ = 24.4 см. Сигнал на частоті   модулюється двома кодами Р та С/А. На частоті   - тільки Р-кодом. Спосіб модуляції – фазовий. Схема формування сигналів приведена на рисунку 1.

Навігаційний код, що передається на частоті , утворюється шляхом складання по модулю 2 далекомірних кодів P та C/A, а також коду службової інформації. Частота синхронізації коду P складає 10.23 МГц, коду С/А – 1.023 МГц.

Сигнал супутника на частоті   можна представити у вигляді

,

де ;

  – фазовий шум, що виникає внаслідок відхилення стандарту частоти передавача;

  – амплітуди компонентів сигналу;

,  – P- та CA-кодові псевдовипадкові послідовності;

– коди даних.

Значення фази для відповідних станів коду сигналу на частоті   подано в таблиці 1.

Таблиця 1. Маніпуляція фазою на частоті .

С/А-код	0	1	0	1
Р-код	0	0	1	1
Значення фази	0	109,5	-70,5	180

Сигнал супутника на частоті   можна представити у вигляді

,

де ;   – амплітуда сигналу.

P-код кожного супутника   утворюється з двох скорочених псевдошумових кодів   та  з однаковою тактовою частотою 10.23 МГц, прив'язаних до одного моменту часу, та з довжиною різницею в 37 одиниць. Кожний супутник має власний зсув коду  на  елементарних одиниць тривалістю Т ≈ 0,1 мкс. Цикл P-коду в 267 діб розподілено на 38 сегментів по 7 діб. Шість з цих сегментів зарезервовані з експлуатаційною метою і не використовуються. Кожний з наступних 32-х 7-добових сегментів привласнено певному супутнику. Тому кожний супутник має свій, принадний тільки йому, код. Зміна сегментів відбувається на всіх супутниках щотижня в 0 годин з суботи на неділю.

Далекомірний С/А-код формується з двох послідовностей 10-розрядного регістру зсуву  та з утворюючими поліномами:

,

.

С/А-код створюється за правилом , де  – тривалість елементарного символу коду. Код С/А виступає ключем для прискореного входження в синхронізм по коду Р.

Наявність в схемі формування сигналів блоків AS та SA зумовлена військовою спрямованістю системи і є основним обмежуючим фактором при її використанні. Ці блоки забезпечують реалізацію режимів обмеженого доступу (SA) та шифрування (AS).

Визначення відстані від приймача до супутника

Визначення відстаней в GPS-приймачах здійснюється двома способами: по запізненню С/А та Р-кодових послідовностей прийнятих сигналів порівняно з послідовностями, сформованими приймачем, або по зміщенню фази прийнятого сигналу відносно опорного сигналу внутрішнього генератора. Популярні та широко поширені gps-навігатори та датчики для моніторингу транспортних засобів визначають відстань, шляхом обробки кодових послідовностей. Цей спосіб визначення відстані і будемо розглядати далі.

Прийнята з супутника кодова послідовність з М символів довжиною Т, запізнюється по відношенню до сформованої генератором приймача на час τ, потрібний на подолання відстані від супутника до приймача. За час τ генератор приймача формує ціле число N послідовностей довжиною Т та частину цієї послідовності, що складається з m цілих та долі ф тактів довжиною   . Таким чином:

,

а псевдовідстань:

  .

 

Для визначення τ приймач затримує послідовності, що формуються, досягаючи максимальної їх кореляції з прийнятими з супутника послідовностями, при цьому m та ф визначаються однозначно (Для С/А-коду  ≈ 1 мкс). Затримка сигналу становить 65-85 мс, а Т≈1 мс (для С/А-коду), тому для однозначного визначення N потрібно визначити по апріорним координатам приймача приблизну відстань до супутника. При цьому достатньо знати приблизну відстань з точністю до 100 км.

Внаслідок асинхронності генераторів та затримки сигналу на шляху, визначеної зовнішніми факторами, псевдовідстань становить:

,

де R – геометрична відстань,   – затримка розповсюдження сигналу на шляху і-й супутник-приймач визначена зовнішніми факторами;   – зміщення часових шкал приймача та і-го супутника відносно часової шкали системного часу; с – швидкість розповсюдження радіохвиль.

Відповідно кодова псевдовідстань становить:

,

де X,Y,Z – невідомі координати об’єкта;  – координати і-го супутника;   – затримка розповсюдження сигналу на шляху і-й супутник-приймач;  – зміщення часових шкал приймача та і-го супутника відносно часової шкали системного часу; с – швидкість розповсюдження радіохвиль

Розрахунок поправок у відстані

Визначені приймачем відстані відрізняються від справжніх внаслідок затримки сигналу при розповсюдженні. Затримка сигналу на шляху супутник-приймач складається з тропосферної, іоносферної затримки та затримки сигналу в нижніх шарах атмосфери:

.

Для зменшення впливу тропосферної затримки може використовуватися формула:

,

де E – кут піднесення супутника над горизонтом. Поправка   дозволяє на порядок зменшити вплив тропосферної затримки на псевдовідстань.

Для виключення іоносферної затримки в одночастотній апаратурі використовується уточнена модель Клобучара:

  (с),

де

  (с),

  (рад),

  (с),

,

,

,

,

,

  (с), де .

Коефіцієнти кубічного рівняння, що характеризують амплітуду вертикальної затримки  та період іоносферної затримки  (n=0,1,2,3) , передаються в навігаційних повідомленнях супутників; E, Az – відповідно кут піднесення над горизонтом та азимут супутника;  – час GPS;  – геодезичні координати супутника в системі WGS-84; x – фаза; F – фактор нахилу; t – місцевий час;   – геомагнітна широта проекція на поверхню Землі точки перетинання іоносфери прямою супутник-приймач; – геодезичні широта та довгота цієї проекції;   - центральний кут між місцем приймача та проекцією точки перетинання іоносфери прямою супутник-приймач на поверхню Землі. Усі кутові параметри подаються в долях півкола.

Для виключення впливу нижніх шарів атмосфери пропонуються різні формули, залежно від запропонованої моделі атмосфери. Залишаючи розгляд різних моделей атмосфери за рамками цього матеріалу, відмітимо, що для корекції відстані можна скористатися, наприклад, формулою Саастамойнена для експоненціальної моделі атмосфери:

де P – атмосферний тиск (мб); T – температура (К); e – вологість (мб); Zd – зенітна відстань супутника.

Розрахунок координат супутника

Поточні координати кожного супутника   визначаються по даним його навігаційних повідомлень. Для обчислення положення супутника по ефемеридам на момент спостереження в екваторіальній системі координат використовується наступний алгоритм:

1.    Здійснюється обчислення середнього руху:

,

де - множина гравітаційної постійної на масу Землі. В WGS-84 ≈ 3,986008· 10¹⁴ м/сек².

2.    Проводиться уточнення середнього руху:

.

3.    Обчислюється час, що пройшов від референтного до моменту отримання повідомлення:

,

де - час отримання ефемериди,  - референтний час.

Слід мати на увазі, що внаслідок асинхронності генераторів супутника необхідно враховувати також значення відхилення часової шкали супутника від системного часу , яке визначається за формулою:

де  ( n = 0,1,2 ) – параметри годинника супутника та опорний час , які передаються в навігаційному повідомленні.

4.    Обчислюється уточнене значення середньої аномалії:

.

5.    Ітераціями знаходиться ексцентрична аномалія:

.

6.    Розраховується значення справжньої аномалії (1):

. 

7.    Обчислюється приблизне значення аргументу широти:

.

8.    Знаходиться поправка до приблизного значення аргументу широти за вплив стиснення Землі на орбіту супутника:

9.    Обчислюється уточнене значення аргументу широти:

10.  Розраховується радіус орбіти:

11.  Знаходиться поправка до приблизного значення радіусу орбіти за вплив стиснення Землі:

12.  Обчислюється уточнене значення аргументу широти:

13.  Розраховується поправка схилення:

14.  Обчислюється уточнене значення схилення орбіти:

15.  Обчислюються координати в площині орбіти:

16.  Розраховується довгота верхобіжнього кута:

де  – швидкість обертання Землі.

17.  Обчислюються координати супутника в грінвічській екваторіальній системі координат:

Визначення наближеного положення приймача

Визначення положення може здійснюватися по повній та зростаючій виборці одночасних спостережень. В обох випадках, якщо апріорні координати приймача не відомі, здійснюється їх розрахунок по мінімальній виборці, отриманій при першому вимірюванні.

Для визначення положення приймача по мінімальній виборці одночасних спостережень псевдовідстаней до чотирьох супутників може використовуватися наступний алгоритм:

1.  Праві та ліві частини рівнянь

,  і=1...4,

возводяться в квадрат:

,

.

2.  Формуються різності:

,

де , і=1..4.

.

3.  Виражаючи X, Y, Z через   маємо:

,

,

,

,

  ,

,

  ,

  ,

,

,

, 

,

  і так далі.

4.  Підставляючи  в одно з рівнянь системи:

маємо

Звідти маємо  як один з коренів квадратного рівняння.

5.  Підставляючи отримане значення в рівняння для   отримуємо положення приймача.

Розрахунок положення GPS-приймача

Для визначення положення приймача по повній надлишковій виборці вимірювань складається система рівнянь з великої кількості спостережень, отриманих від більш ніж чотирьох супутників в різні моменти часу на протязі певного інтервалу. Для вирішення системи рівнянь в сучасній апаратурі використовується ітеративний метод зважених найменших квадратів. Здійснюється пошук рішення, що найбільше задовольняє всім визначеним псевдовідстаням.

Справжні координати приймача можна визначити як:

де  – апріорні координати приймача, введені перед початком спостережень користувачем або визначені розрахунком системи 4-х рівнянь, отриманих при першому вимірюванні;  – невідомі поправки до координат.

Зі звільнених від тропосферних, іоносферних та атмосферних затримок, а також помилок супутникових годинників, псевдовідстаней складається система рівнянь:

  ,

де n– обсяг спостережень; – відстань визначена помилкою годинника приймача; – геометрична дальність:

.

Розкриваючи скобки, маємо:

,

де

,

.

Розкладаючи вираження геометричної дальності в ряд Тейлора та відкидаючи усі члени ряду, що містять   в ступінях вище першого, маємо:

.

Загалом вираження для псевдовідстані прийме вигляд:

,

де v – поправки, що компенсують внесені в псевдовідстані похибки.

Для визначення поправок   застосовується метод найменших квадратів за умови:

.

Як відомо, ця умова розпадається на чотири:

Здійснивши диференціювання по поправках, приходимо до системи рівнянь:

У матричному вигляді формула пошуку координат приймача має вигляд:

,

де

 

.

Варіант 3

Визначення положення в диференційному режимі

Поправки у псевдовідстані формуються базовою станцією порівнянням геометричних відстаней, визначених по відомим координатам, з псевдовідстанями, визначеними спостереженням за супутниками.

 

Рисунок 1. Вимірювання у диференційному режимі

Псевдовідстань від і-го супутника до приймача базової станції А становить:

,

де  – геометрична відстань;   – затримка на шляху “супутник-приймач А”;   – помилка годинника приймача;    – інші помилки вимірювання.

Станція формує по кожному супутнику поправку:

,

яка передається іншим приймачам.

Приймач В визначає псевдовідстані до супутників і виправляє їх на величини отриманих поправок:

,

.

На основі визначених таким чином псевдовідстаней приймач В формує систему рівнянь для визначення свого положення.

Поправки в фазові відстані формуються базовою станцією шляхом оцінки на основі відомої геометричної відстані числа цілих хвиль у відстані до супутника.

Визначена станцією А частина фазової відстані до і-го становить:

,

де  – геометрична відстань;   – відстань визначена, помилкою годинника приймача; – відстань визначена, помилкою годинника супутника;   – інші помилки вимірювання.

Станція формує оцінку числа   у вигляді числа , яке не дорівнює точно числу , але близьке до нього. Відповідно відстань до супутника становить:

,

а диференційна поправка:

,

.

Приймач В вимірює фазову відстань і формує рівняння, використовуючи отримані поправки:

,

.