- •Содержание
- •1. Понятие числового ряда и его суммы
- •2. Свойства сходящихся рядов
- •3. Достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
- •4. Знакопеременные ряды
- •5. Знакочередующиеся ряды
- •5.Функциональные ряды.
- •6. Степенные ряды
- •7. Разложение функций в степенные ряды.
- •8. Приложения степенных рядов.
7. Разложение функций в степенные ряды.
Функция разлагается в степенной ряд или в ряд , если:
1) этот степенной ряд сходится; 2) его сумма на интервале сходимости равна .
Известно, что функцию можно разложить в ряд Тейлора. Однако, чисто формальное разложение в ряд Тейлора может привести к неверному результату, т.к.
1) ряд может сходиться к только в некоторой области; 2) ряд может сходиться, но не к ; 3) ряд может расходиться.
Рассмотрим условия разложения функции в ряд Тейлора.
Теорема 7.1. Для того чтобы ряд Тейлора сходился к функции необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0 при .
Теорема 7.2. Если производные любого порядка функции ограничены одной и той же постоянной, т.е. , , , то ряд Тейлора сходится в к .
Теорема 7.3. Разложение функции в ряд Тейлора единственно.
Приведем разложение основных элементарных функций в степенные ряды.
1) ,
2) ,
3) ,
4) ,
5) ,
6) ,
7) ,
8) ,
9) ,
Пример 23. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .
Решение. Так как , то . Так как разложение для действительно при , то и функция разлагается в ряд Тейлора при .
Пример 24. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .
Решение. Представим дробь в виде суммы простейших дробей:
и разложим каждую простейшую дробь в правой части равенства по формуле для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
, где .
.
Это разложение имеет место лишь для , удовлетворяющих неравенству или .
Так как для , для , то разложение функции
верно при (как пересечение областей сходимости).
Пример 25. Разложите функцию в ряд Тейлора по степеням .
Решение. Разложим аргумент логарифма на множители: . Тогда . И, применяя формулу , где , запишем:
,
это представление верно при или .
,
это равенство имеет место при или .
Объединяя полученные результаты, получаем разложение данной функции в ряд Тейлора по степеням :
,
причём это разложение справедливо при
8. Приложения степенных рядов.
Рассмотрим следующие приложения степенных рядов:
1) Приближенное вычисление значений функции. Функцию разлагают в степенной ряд, оставляют первые n членов. Погрешность равна остатку ряда . Для оценки погрешности применяют приёмы:
а) если ряд знакоположительный, его сравнивают с геометрической прогрессией;
б) если ряд знакочередующийся, применяют признак Лейбница, т.е. используют свойство .
Пример 26. Оценить погрешность приближённого равенства
Решение.
Если , то, применяя к выражению в скобках формулу для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, получаем
.
Таким образом,
.
Пример 27. Вычислить точностью до 10-4.
Решение. Так как , то, применяя формулу
при , запишем
В правой части этого равенства числовой знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница сумма такого ряда не превосходит первого отброшенного члена. Заметим, что , поэтому для вычисления суммы знакочередующегося ряда достаточно взять первые два слагаемых и считать, что .
2) Приближенное вычисление пределов.
Пример 28. Вычислите приближенно предел .
Решение. При получаем неопределенность вида . Но применять таблицу эквивалентных бесконечно малых нельзя, так как в числителе разность бесконечно малых одного порядка. Вычислим этот предел, разложив слагаемые в числителе в степенные ряды.
это разложение верно для любых действительных .
это разложение имеет место при , но , поэтому в нашем случае можно применить указанное представление.
С учётом вышесказанного запишем:
.
3) Приближенное вычисление интегралов.
Пример 29. Вычислите интеграл точностью до .
Решение. Разложим в ряд Тейлора по степеням :
Тогда
Подставим полученное разложение подынтегральной функции в исходный интеграл:
.
Под знаком интеграла степенной ряд . Применяя обобщенный признак Даламбера, можно доказать, что этот ряд сходится при любом действительном .
Следовательно, он сходится равномерно на отрезке . Поэтому его можно почленно интегрировать на этом отрезке. Проинтегрируем:
В правой части равенства числовой знакочередующейся ряд, его сумма по признаку Лейбница не превосходит первого отброшенного члена. Так как , то для вычисления интеграла с указанной точностью достаточно взять первые два слагаемых, т.е.
.