5.Функциональные ряды.

Функциональным рядом называется ряд вида

,

где функции, определенные на некотором множестве . Сумма называется n-й частичной суммой ряда, выражение – остатком ряда. При каждом фиксированном функциональный ряд превращается в числовой, и его сходимость можно исследовать по известным признакам. Если такой числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке . Совокупность всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Суммой функционального ряда называется функция , определенная в области сходимости функционального ряда. Функциональный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей .

Пример 14. Найдите сумму ряда , .

Решение. Очевидно, что . Пусть . Ряд в этом случае представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , т.е. , . Таким образом, сумма ряда есть

_.

Хотя все члены ряда являются непрерывными на отрезке функциями, тем не менее сумма ряда оказалась разрывной функцией.

Для определения области сходимости функционального ряда можно использовать обобщенные признаки сравнения, Даламбера, Коши и т.д., в которых вместо надо брать .

Пример 15. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд сходится на всей числовой прямой по признаку сравнения, т.к. , для всех , а ряд сходится (ряд Дирихле, ).

Пример 16. Исследуйте на сходимость ряд .

Решение. Данный ряд расходится при всех x, так как , а ряд расходится, как остаток гармонического ряда.

Равномерная сходимость функциональных рядов.

Основным вопросом функциональных рядов является вопрос о свойствах суммы ряда в зависимости от свойств членов этого ряда. Возникают вопросы:

1) если члены ряда непрерывные функции, то будет ли тоже непрерывной функцией?

2) если члены ряда интегрируемые (дифференцируемые) функции, то будет ли сумма ряда интегрируемой (дифференцируемой) функцией?

Определение 5.1. Ряд называется равномерно сходящимся в области к сумме , если (номер, зависящий от и не зависящий от ),

.

На рисунке 1 приведена геометрическая иллюстрация равномерной сходимости функционально ряда:

Пример 17. Докажите равномерную сходимость функционального ряда на отрезке [0,1].

Решение. Оценим остаток ряда:

.

Выражение под знаком модуля при каждом фиксированном является знакочередующимся рядом, который сходится по признаку Лейбница, причём его сумма не превосходит первого члена.

.

Решая неравенство , находим номер члена ряда, не зависящий от x. Таким образом, существует такой номер , что , . Следовательно, по определению функциональный ряд сходится равномерно на .

Теорема 5.1 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости). Если члены ряда при любом удовлетворяют неравенству , и числовой знакоположительный ряд сходится, то сходится равномерно .

Пример 18. Исследуйте на равномерную сходимость ряд .

Решение. При любых выполняется:

.

Знакоположительный числовой ряд является рядом Дирихле, который сходится . Следовательно, по теореме 5.1 функциональный ряд сходится равномерно при любом действительном .

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теорема 5.2 (о непрерывности суммы ряда). Если: 1) все члены ряда являются непрерывными функциями; 2) ряд сходится равномерно в области , то сумма ряда непрерывная функция в области .

Теорема 5.3 (о почленном интегрировании ряда). Если члены ряда являются непрерывными функциями, и ряд сходится равномерно на к сумме , то его можно почленно интегрировать на любом , и справедлива формула

Теорема 5.4 (о почленном дифференцировании ряда). Если члены ряда являются непрерывно-дифференцируемыми функциями на отрезке , ряд сходится на , а ряд составленный из производных сходится равномерно на , то ряд сходится равномерно на , его сумма является непрерывно-дифференцируемой функцией, и ряд можно почленно дифференцировать:

.

Пример 19. Докажите равномерную сходимость функционального ряда , .

Решение. Составим ряд из производных и докажем его равномерную сходимость по признаку Вейерштрасса. Заметим, что , . Числовой знакоположительный ряд сходится (ряд Дирихле, ). Следовательно, функциональный ряд по теореме 5.1 сходится равномерно при любом действительном . Тогда по теореме 5.4 исходный ряд сходится равномерно при любом , причём .