Лекция 7. Вариация
Для каждой единицы изучаемой совокупности интересующий нас признак принимает различные значения, т.е. варьирует.
Вариация – это колебания признака в ряде распределения.
Показатели вариации
1. Размах
вариации (R) – разность
между максимальным и минимальным
значениями совокупности:
.
2. Среднее
линейное отклонение (d)
– средняя арифметическая абсолютная
величина отклонений значений признака
от его средней величины:
;
.
3.
Дисперсия (
)
– среднее арифметическое квадратов
отклонений значений признака от его
средней величины..
Дисперсия − единственный из показателей вариации, не имеющий единицы измерения:
;
;
;
;
,
где
;
− начальный момент первого порядка,
;
− начальный момент второго порядка.
i – величина интервала;
A – варианта с наибольшей частотой.
4. Среднее
квадратическое отклонение (
)
– арифметическое значение корня
квадратного из дисперсии:
;
.
Отметим,
что отношение
(для прогноза).
5.
Коэффициент вариации (V)
– отношение среднего квадратического
отклонения к средней арифметической,
выраженное в процентах:
.
Этот коэффициент показывает долю колебания признака от средней арифметической. Применяется для сравнения вариаций признака в различных совокупностях и для характеристики колебаний различных признаков в одной совокупности. Также он характеризует степень однородности совокупности и качества средних величин.
Если V от 0% до 20%, то совокупность однородная, и среднюю можно использовать смело.
Если V от 20% до 50%, то совокупность средней однородности, и среднюю необходимо использовать осторожно.
Если V более 50%, то совокупность неоднородная, и средней пользоваться нельзя для прогнозирования перспективных показателей признака.
Целесообразно расчёт каждой средней величины дополнять расчётом коэффициента вариации для характеристики степени однородности совокупности и оценки качества средней величины.
Свойства дисперсии
1. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в k раз, то дисперсия увеличится или уменьшится в k2 раз.
2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то дисперсия не изменится.
3. Если все частоты увеличить или уменьшить в несколько раз, то дисперсия не изменится.
4. Дисперсия равна средней арифметической квадратов вариант без квадрата средней арифметической.
Дисперсия альтернативного признака
Если в
совокупности исследуется доля единиц,
обладающих тем или иным альтернативным
признаком, то дисперсия этой доли
определяется по формуле:
,
где
.
p –
доля единиц совокупности, обладающих
данным признаком,
;
m – число единиц совокупности, обладающих данным признаком;
n – число наблюдений.
Пример: выпущена продукция, в объёме которой доля пригодных изделий составляет 0,8, оставшиеся – бракованные изделия. Определить дисперсию альтернативного признака.
= 0,8 ∙ 0,2 = 0,16.
Межгрупповая и внутригрупповая дисперсии
На вариацию признака влияют различные факторы: систематические и случайные. В статистике определяется количественное воздействие случайных факторов при помощи различных видов дисперсий.
Предположим, совокупность S разбита на непересекающиеся группы по возрастанию признака (S1 ,S2 ,…,Sn).
S1(
)
S
(
)
S2(
)
…………
Sn(
)
Дисперсия всей совокупности называется общей дисперсией. Она характеризует влияние колебания признака от воздействия всех факторов: случайных и систематических.
Дисперсия
каждой группы, на которые разбита
совокупность, называется внутригрупповой
и рассчитывается по формуле дисперсии:
,
где
−
дисперсия
i-ой группы;
− значение
ряда.
Среднее
арифметическое из внутригрупповых
дисперсий рассчитывается по формуле:
и называется средней внутригрупповой
дисперсией. Она характеризует влияние
случайных
факторов на величину общей вариации,
т.е. всех факторов, за исключением того,
который положен в основу группировки.
Межгрупповой
дисперсией называется среднее
арифметическое квадратов отклонений
внутригрупповых средних от общей
средней., рассчитывается по формуле.
.
Она характеризует влияние систематических
факторов, положенных в основу группировки,
на величину общей вариации.
Правило сложения дисперсий
Если
совокупность разбита на непересекающиеся
группы S1 ,S2
,…,Sn,
то общая дисперсия равна сумме межгрупповой
дисперсии и средней внутригрупповой
дисперсии:
(четвёртый способ нахождения дисперсии)
Отношение
межгрупповой дисперсии к общей, выраженное
в процентах, называется коэффициентом
детерминации:
.
Корень
квадратный из него характеризует долю
общей вариации, обусловленную влиянием
признака, положенного в основу группировки,
в общей совокупности всех факторов и
называется эмпирическим корреляционным
отношением:
.
(этта)
Пример: имеются данные о производительности труда 10 работников в зависимости от стажа работы. Определить зависимость выработки работника от стажа работы:
этапы работы |
количество деталей в смену |
количество работников |
менее 5 лет |
11, 8, 9, 12, 11, 9 |
6 |
5 лет и выше |
9, 12, 10, 13 |
4 |
(ед.),
(ед.),
(деталей);
;
,
,
,
;
,
.
Таким образом, производительность труда рабочих зависит от стажа работы на 31%, а от всех остальных, случайных, факторов – на 69%.