Корреляция

Одним из важных приложений методов математической статисти­ки является установление зависимости между двумя или более на­блюдаемыми величинами. При этом наряду с раздельным анализом выборок, составленных из значений этих величин, возможен и сов­местный анализ.

Рассмотрим ситуацию, когда в результате эксперимента измеряется не одна, а сразу две случайные величины, скажем X и Y. Примера­ми здесь могут служить врачебный осмотр, где у каждого пациента измеряют рост и вес; измерение средней температуры воздуха в двух городах в течение определенного дня; проверка квалификации ра­бочих, когда фиксируются производительность и стаж работы.

Итак, исходными данными являются пары чисел (точки) (х₁, у₁), (х₂, у₂),… (х_n, у_n), где п — число испытаний. Наряду с анализом величин X и Y по отдельности представляет интерес исследование возможной зависи­мости между ними. Являются ли величины X и Y независимыми? Если же между ними имеется некоторая зависимость, то какова она?

Зависимость на рис. близка к линейной, т. е. точки заметным образом группируются вокруг некоторой прямой. В таких случаях говорят, что величины X и Y коррелированы. Существует простой способ определения степени коррелированности случайных величин. Он основан на вычислении коэффициента корреляции r_ху. Коэффициент корреляции обладает следующим свойством: -1 r_ху 1. При этом, чем ближе r_ху к нулю, тем слабее корреляция. Если r_ху = 0, то Х и У независимы. И наоборот, чем ближе r_ху к ±1, тем сильнее корреляция, т. е. зависимость между X и Y близка к линейной. Если r_ху = ±1, то точки (х₁, у₁) … (х_n, у_n) лежат на одной прямой.

Подчеркнем, что коэффициент корреляции отражает степень только ли­нейной зависимости между величинами. Приведем формулы для вычисления r_ху:

Пример. Рассмотрим проблему, которая стоит перед администра­цией некоторого крытого стадиона, где проходят матчи, концерты и др. Перед каждым таким меро­приятием требуется оценить, какое количество зрителей придет. Можно предположить, что окончательное число зрителей сильно зависит от того, сколько биле­тов продано за день до мероприятия. Пусть опыт первых пяти мероприятий этого года таков:

Число билетов, продан­ных накануне (в тыс.)	3,5	4,6	5,8	4,2	5,2
Число зрителей (в тыс.)	8,1	9,4	11,3	6,9	9,7

Каков коэфф. корреляции между числом проданных накануне билетов и числом зрителей?

Примем число билетов за Х, а число зрителей за У. Найдем коэффициент корреляции.

= (3,5 + 4,6 + 5,8 + 4,2 + 5,2 ) = 23,3 = 4,66

= ( 8,1 + 9,4 + 11,3 + 6,9 + 9,7) = 45,4 = 9,08

: =(3,5)² + (4,6)² + (5,8)² + (4,2)² + (5,2)² = 111,73

= 111,73 – (4,66)² = 0,6304

: = ( 8,1)² + (9,4)² + (11,3)² + (6,9)² + (9,7)² = 423,36

= 423,36 – (9,08)² = 2,2256

: = 3,5· 8,1 + 4,6·9,4 + 5,8· 11,3 + 4,2· 6,9 + 5,2·9,7 = 216,55

= 216,55 - 4,66·9,08 = 0,9972

= Коэффициент корреляции близок к единице.

Этим обстоятельством можно воспользоваться для прогнозирования числа зрителей по имеющейся накануне информации.