Случайные величины.

Под случайной величиной понимается переменная, кото­рая в результате испытания в зависимости от случая при­нимает одно из возможного множества своих значений (какое именно, заранее неизвестно).

Например: случайная величина X — число дней во взя­том наудачу месяце года есть функция элементарных ис­ходов (месяцев), т.е. X (м₁) = 31, Х(м₂) = 28 или Х(м₂) = 29, ..., Х(м₁₂) = 31.

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными:

• для дискретной случайной величины множество воз­можных её значений конечно или счетно,

• для непрерывной множество воз­можных её значений — бесконечно и не­счетно.

Возможные значения дискретных величин могут быть заранее перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый про­межуток.

Примеры дискретных случайных величин:

1) число родившихся детей в течение суток в Москве

2) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);

3) число произведенных выстрелов до первого попадания

4) число попаданий в самолет, достаточное для вывода его из строя (возможные значения 1, 2, 3, .... п, . . .);

Примеры непрерывных случайных величин:

1) дальность полета ар­тиллерийского снаряда

2) расстояние от точки попадания до центра мишени;

3) ошибка измерителя высоты;

4) время безотказной работы радиолампы.

С каждой случайной величиной связано некоторое множество числовых значений, которые она может принимать. В результате испытаний эти значения могут выпадать с различной вероятностью. Правило, устанавливающее связь между возможными значениями сл-й вел-ны и их вероятностями, называется законом распределения случайной величины. Закон распределения случай­ной величины является наиболее полным, исчерпывающим ее описанием.

Для дискретной случайной величины закон распреде­ления может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Итак, пусть случайная величина X может принимать одно из п различных значений: х₁ х₂, … ,х_п.

При этом каждое из этих значений величина X принимает с опреде­ленной вероятностью — соответственно р₁, р₂, …,р_n.

Иначе, р₁ — это вер. события "случайная величи­на X приняла значение х₁ или Х=х₁",

р₂ — вер. случайного события X = х₂, и т.д. р_п — вероятность случайного события X = х_п.

Х	х1	х2	…	хп
Р	р1	р2	…	рп

Сведем все эти значения в таблицу:

В первой строке - значения, принимаемые случайной величиной X, во второй строке — их вероятности. Она называется таблицей распределения случайной величины X. Обычно числа в первой строке таблицы распределения располагают в порядке воз­растания.

Замечание. Если в результате испытания величина X наверняка примет одно из этих значений, по­этому для таблицы распределения случайной величины спра­ведливо равенство р₁+ р₂ + …+р_n=1.

Итак, для того чтобы при решении конкретной задачи заполнить таблицу распределения заданной случайной величины, надо выпи­сать все принимаемые ею значения х₁ х₂, … ,х_п и вычислить соот­ветствующие вероятности р₁, р₂, …,р_n.

Пример с игральным кубиком. Для случайной величины вероятности принять любое из шести значений равны между собой. Таблица распределе­ния выглядит так:

X	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Обратить внимание, что р₁+ р₂ + …+р₆ = 6 ·¹/₆ =1.

Пример с тремя монетами. В результате одновременного бросания трех мо­нет возможно всего 8 равновероятных исходов: ГГГ, ГГР, ГРГ, ГРР, РГГ, РГР, РРГ, РРР. При 1-м исходе величина Х (число гербов) принимает значение 3; при 2-м, 3-м и 5-м — значение 2; при 4-м, 6-м и 7-м — значение 1; при 8-м — значение 0. С учетом этого таблица распределения случайной величины Y:

Х	0	1	2	3
Р	1/8	3/8	3/8	1/8

Обратить внимание, что р₁+ р₂ + …+р₄ = 2 ·¹/₈ + 2 ·³/₈ =1.

Для более наглядного представления закона распределения ча­сто используется координатная плоскость. По оси Ох отмеча­ют значения, принимаемые случайной величиной, по оси Оу — вер-ти. Затем на плоскости (х,р) отмечают точки и получают столбчатую диаграмму:

р
1
3/8
1/8
0		1		2		3		4	х

Непрерывная случайная величина принимает не какие-либо конкретные числовые значения, а любые значения на числовом отрезке. Описание закона распределения в непрерывном случае существенно сложнее, чем в дискретном.

Главное различие в задачах вычисления вероятностей для дис­кретного и непрерывного случаев состоит в следующем. В дискрет­ном случае для событий типа х = с (случайная величина принимает определенное значение) ищется вероятность р(с). В непрерывном слу­чае вероятности такого типа равны нулю, поэтому интерес предста­вляют вероятности событий типа а ≤ х ≤ b (случайная величина принимает значения из некоторого отрезка). Или для событий типа х ≤ с ищется вероятность р(х ≤ с). Получили график функции распределения F(х ≤ с).

р
1
7/8
4/8
3/8
1/8
0		1		2		3		4	х

Итак, разнообразие случайных величин весьма велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счетным или несчетным; значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы сплошь. Для того чтобы задавать вероятности значений случайных величин, столь различных по своей природе, и притом задавать их одним и тем же способом, в теории вероятностей вводят понятие функции распределения случайной величины.

Пусть — случайная величина и х - произвольное действительное число. Вероятность того, что примет значение, меньшее, чем х, называется функцией распределения вероятностей случайной величины : F(x) = Р( <х}.

Резюмируем сказанное: случайной величиной называется величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей.

Мат. ожидание. Мат. ожиданием или средним значением случайной величины называется число, обозначаемое МХ: это среднее ожидаемое значение, принимаемое случайной величиной в больших сериях испытаний. . Т.о. мат.ож. показывает, какое значение случайная величина примет в среднем при большом числе испытаний.

Пример. Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M _x . В данном случае M _x  = 3,5. Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях n₁ раз выпало 1 очко, n₂ раз – 2 очка и так далее. Тогда При N  → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, . Аналог., . Отсюда

Дисперсия. Дисперсия случайной величины это число DХ = М(Х-МХ)². Т.о. дисперсия показывает степень отклонения случайной величины от её среднего значения (мат. ожид.).

Пример. Дисперсия

Одним из важных показателей является плотность распределения непрерывной случ. величины.

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это — наиболее часто встречающийся на практике закон распреде­ления. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Большинство встречающихся на прак­тике случайных величин, таких, например, как ошибки измерений, ошибки стрельбы и т. д., могут быть представлены как суммы весьма большого числа сравнительно малых слагаемых. Каким бы законам распределения ни были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих рас­пределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются, и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к нормальному.

Нормальный закон распределения, закон распределения , и др.

Нормальный закон распределения говорит о том, что случ. величина может принимать любые значения, и они появляются с различной частотой, но средние и близкие к ним встречаются наиболее часто. По мере удаления от среднего значения случ. величина встречается все реже (плотность распределения падает). График закона нормального распределения – имеет холмообразный вид, симметричен относительно прямой х = МХ (= ).