Классификация событий

Достоверное - событие, которое при соблюдении некоторых условий произойдет обязательно. Например, после ночи обязательно будет утро.

Невозможное - событие, которое при соблюдении некоторых условий не может произойти. Например, после зимы сразу не наступит лето.

Неопределенное - событие, результат которого заранее не может быть предсказан.

Совместимые: события А, и В называются совместимыми при данном испытании, если исход одного не исключает возможности появления другого. Например, появление облачности не исключает появления дождя.

Несовместимые: события А и В называются несовместимыми, если появление одного из них исключает возможность появления другого. Например, из коробки, содержащей два яблока разного сорта, вытаски­вается одно яблоко. Вероятность того, что оно окажется первого и второ­го сорта, - событие несовместимое.

Зависимые: события А и В зависимы, если исход события А зависит от исхода события В. Случайные события являются зависимыми друг от друга, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого события. Например, вероятность появления дождя зависит от вероятности появления тучи.

Независимые: события А и В независимы, если исход одного из них никак не влияет на возможность появления другого. Случайные события являются независимыми друг от друга, если вероятность появления од­ного из них не зависит от появления или непоявления другого события. Например, в урне п белых и т черных шаров. Из урны вынимают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, если первый извлеченный шар вновь возвращается в урну? События, что оба извле­ченных шара белые, независимы.

Итак. Любому случайному событию А соответствует определенное число P(А), удовлетворяющее условию 0≤P(А) ≤ 1. Это число называется вероятностью события А.

• Если событие А достоверно, то P(А) = 1.

• Если событие А невозможное, то P(А) = 0

Операции над вероятностями.

Суммой п случайных событий называют случайное событие, обозначаемое А₁+А₂+А₃+...+Ап, имеющее место, если произойдет хотя бы одно из этих событий.

Например, А=«1-й снег выпал в сент.», В=«1-й снег выпал в окт.», С=«1-й снег выпал в нояб.». Тогда событие (А+В+С)=«1-й снег выпал осенью».

Произведением п случайных событий называют случай­ное событие, обозначаемое А₁·А₂·А₃·...·Ап, имеющее место, если про­изойдут все эти события.

Например, А=«в аудит. вошел студ.», В=«вошел студ.в очках», тогда АВ=«в ауд. вошел студ.в очках».

Событием, противоположным А, назовем событие, состоящее в том, что А не произошло ( ). Сумма вероятностей противоположных событий рав­на единице: р(А) +р( ) = 1 или р( )=1-р(А).

Например, поражение или непоражение при выстреле мишени - противо­положные события.

р(А +В) =р(А) + р(В) - р(А·В) – здесь нам неизвестно р(А·В).

1) Если А и В не могут произойти одновременно, т.е. А·В невозможное событие, т.е. они несовместимы, тогда р(А·В)=0. Если события А, В попарно несовместимы, то р(А +В) =р(А) +р(В)

Пример. В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено: 10 вы­игрышей по 200р., 100 — по 100р., 500 — по 25р. и 1000 выиг­рышей по 5р. Какова вероят­ность того, что 1 билет выиграет не меньше 25р.?

Обозначим события:

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

А₂₅ — «выигрыш равен 25 р.», Р(А₂₅)= 0,05

А₁₀₀ — «выигрыш равен 100 р.», Р(А₁₀₀)= 0,01

А₂₀₀ — «выигрыш равен 200 р.», Р(А₂₀₀)= 0,001

Поскольку куплен только один билет, то А=

Эти события попарно несовместимы, поэтому Р (А)=

2) Если А и В могут произойти одновременно, возникает вопрос: насколько наступление одного из них влияет на возможность наступления другого? Бывает, что хотя причинной связи нет, но некоторая зависимость все же присутствует.

Например, однократно бросают кубик. Событие А="выпало четное число очков"; событие В="выпало число очков, большее трех". Неверно утверждать, что одно из событий с неизбежностью влечет за собой другое. Но некоторая зависимость имеется. Действительно, всего м.б. шесть исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

А - исходы { }, его вероятность равна 1/2,

В - исходы { }.

Из этих исходов ровно входят в событие А. Т. о., если событие В произошло, то вероятность события А равна .

Такая вер-ть назыв. условной, и обозначается р(А /В). В данном примере р(А /В)=2/3.

Пример. В урне 3 белых и 4 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется чер­ным при условии, что первый шар был черным. А - "первый шар черный"; В - "второй шар черный". Если произошло событие А, то в урне осталось 6 шаров, из которых 3 черных  искомая вероятность .

Пример. Для участия в соревнованиях выделили 9 спортсменов, среди которых 3 - мастера спорта, три 1-рядники и три 2-разрядники. Вызывается один спортсмен. Найти вероятность того, что он перворазрядник, если он не был мастером спорта.

Здесь имеет место условная вероятность, она равна: р (А/В) = _.

3) События независимы - вероятность наступления события В не изменяется в зависимости от наступления или ненаступления события А.

Если события А, В независимы, то р(А·В) = р(А) · р(В) и

Пример. Соревнования по прыжкам в высоту. Вероятность успешного прыжка у 1-го р(А) = 0,8, а у второго р(В) = 0,9. Какова ве­роятность того, что оба возьмут предельную высоту?

Так как вероятность взятия предельной высоты не зависит друг от друга, то события А и В независимы. Следовательно, р(АВ) = .

4) Если события А, В зависимы, то вероятность их совместного появления р(А·В) = р(А) · р(В/А)

Пример. Из колоды в 32 карты наугад одну за другой вынимают две карты. Найти вер.того, что:

а) вынуты два валета: А — «первая карта — валет», В — «вторая карта — валет».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты два валета

р (А·В)=

б) вынуты две карты пиковой масти: С — «первая карта пик», D — «вторая карта пик».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты два карты пиковой масти:

р (C·D)=

в) вынуты валет и дама: А — «первая карта — валет», Е — «вторая карта — дама».

Вероятность совместного появления этих событий, т.е. что вынуты валет и дама:

р (А·E)=

Есть ряд событий: А₁, А₂, А₃, ...Ап. Полная группа событий - это совокупность единственно возможных событий опыта, для которой сумма вероятностей отдельных событий А₁,А₂,...,А_п, образующих полную группу, равна единице: р(А₁) + р(А₂) +... + р(А_п) = 1

ИТАК. Если события А, В попарно совместимы, то р(А +В) =р(А) +р(В) - р(А·В).

Пример. Вероятность сдачи экзамена первым студентом равна р(А) = 0,6, а вторым р(В) = 0,4. Какова веро­ятность того, что экзамен сдаст хотя бы один студент?

События А и В не составляют полную группу событий. Значит, эти события совместимы:

р(А + В) =

Пример. Определить вероятность того, что при бросании двух монет хотя бы один раз выпадет орел. А – орел на 1 монете, В – на 2 монете. События А и В не составляют полную группу событий (оо рр ор ро). Значит, эти события совместимы: р(А + В) =

Пример. Определить вероятность того, что при бросании двух иг­ральных костей хотя бы один раз выпадет 6 очков.

А - 6 очков при бросании первой игральной кости и В - то же, но для второй игральной кости. События А и В не составляют полную группу событий, т.е. А и В совместны,

Р(А+ В) =

5) Если есть ряд событий: А₁, А₂, А₃, ...Ап, независимых друг от друга, то

и

Пример. 4 стрелка одновременно стреляют. Вер. попадания 0,7; 0,75; 0,7; 0,65. Чему равна вер. поражения цели (хотя бы одним стрелком)?

Р(А₁)=0,7 Р(А₂)= 0,75 Р(А₃)=0,7 Р(А₄)= 0,65. Цель будет поражена, т.е. произойдет событие

А₁+ А₂+ А₃+ А_4.

Пример. Через остановку пролегают троллейбусный и автобусный маршруты. Трол. подъезжает через каждые 15м. автобус — через каждые 25м. К остановке подходит пассажир. Какова вероятность того, что в ближайшие 10м. на остановке появится троллейбус либо автобус?

1 способ. Вероятность того, что троллейбус появится на остановке в ближайшие 10 минут: р(Т)=¹⁰/₁₅=²/₃.

Вероятность того, что автобус появится на остановке в ближайшие 10 минут: р(А)=¹⁰/₂₅=²/₅.

Вероятность того, что появится автобус или троллейбус: р(А+Т)=

2 способ. Пассажир не уедет в ближайшие 10м.: . Вероятность, что он уедет

3 способ. Можно было воспользоваться формулой: .

Пример. Студент пришел на зачет, зная 15 вопросов из 20. Если он не отвечает, то может взять 1 раз другой вопрос. Какова вер. сдать зачет?

А₁ - вер. взять знакомый вопрос с 1 попытки

- вер. взять незнакомый вопрос с 1 попытки

А₂ - вер. взять знакомый вопрос с 2 попытки

- вер. взять незнакомый вопрос с 2 попытки

1 способ. Вероятность сдать зачет: р(А)=

2 способ. Вероятность не сдать зачет: р( )=  р(А) = _.

6) Формула полной вероятности. Имеется группа несовместимых событий В₁, В₂, … В_п и некоторое событие А, подразделяющегося на частные слу­чаи А·В₁, А·В₂, ..., А·В_п так, что . Тогда Это и есть формула полной вероятности.

Пример. В доме 5 дверей. «А» - человек вошел в дом. «В_i» - человек вошел через i-ю дверь. События В_i несовместимы. Событие А это сумма А·В₁+ А·В₂+ .... Значит, р(А)= р(А·В₁) + р(А·В₂) +… (т.е. он вошел или через 1 дверь, или ….) = р(А/В₁) · р(В₁) + р(А/В₂) · р(В₂) + … Это и есть формула полной вероятности.

Пример. 5 винтовок, на 3 из которых были оптические прицелы. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; для винтовки без оптического прицела она равна 0,55. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если курсан­ту будет предложена наугад взятая винтовка.

Из условия примера можно записать:

p(B₁) = 0,9 - вероятность поражения мишени из винтовки с оптиче­ским прицелом;

р(А/В₁) = - вероятность, что выбрана винтовка с оптическим прицелом;

р(В₂) = 0,55 - вероятность поражения мишени из обычной винтовки;

р(А/В₂) = - вероятность выбора обычной винтовки.

Тогда искомая вероятность будет равна: р(А) =

7) Формула Байеса.

Если требуется найти вероятность события B_i когда известно, что А произошло и определено формулой . Тогда, используя теорему умножения, получим: р(В_i ·А)= р(А) · р(В_i /А) = р(В_i) · p(A/B_i),

откуда , здесь выражение р(А) - формула полной вероятности, под­ставив выражение которой в данное выражение, получим: , i и j =1,…n.

Это и есть формула Байеса в общем виде.

Пример. Для пред. задачи:5 винтовок, на 3 из которых были оптические прицелы. Вероятность поразить мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; для винтовки без оптического прицела она равна 0,55. Найти, что вероятнее: будут стрелять из винтовки с оптическим прицелом или без него?

Пример. 5% муж. и 0,25% женщ. страдают дальтонизмом. И муж., и жен. – одинаковое кол-во. 1) Какова вер-ть того, что наугад выбранный человек – дальтоник?

В₁ – выбран мужчина. В₂ – выбрана женщина. А – человек-дальтоник. Надо найти р(А).

р(В₁) р(В₂) .

p(A/B₁)=

p(A/B₁)=

По формуле полной вер. получим р(А) =

2) Какова вер-ть того, что это человек – мужчина? Надо найти р(В₁/А).

По формуле Байеса

Пример. На экзамене 20 билетов: 5 – легкие и 15 – трудные. 2 студента тянут билет: сначала - первый, потом – второй.

1) какова вер. вытянуть легкий билет у 1 студента?

В₁ – 1 студент вытянул легкий билет.

В₂ – 1 студент вытянул трудный билет.

А - 2 студент вытянул легкий билет.

Надо найти р(В₁) =

2) какова вер. вытянуть легкий билет у 2 студента? Надо найти р(А).

По формуле полной вер. получим

р(А) = р(А/В₁) · р(В₁) + р(А/В₂) · р(В₂) =

3) Известно, что 2 студент вытянул легкий билет. Какова вер. того, что и у 1 студента легкий билет? Надо найти р(В₁/А).

По формуле Байеса