9.Антагонистические игры с нулевой суммой. Понятие платежной матрицы, примеры ее построения.
Под игрой в математике понимается математическая модель конфликтной ситуации. При этом подразумевается, что каждый игрок имеет несколько вариантов поведения, а для всех комбинаций выборов игроков можно поставить в соответствие некоторый числовой выигрыш каждому игроку. Если сумма выигрышей всех игроков равна нулю, то игра называется игрой с нулевой суммой. Игра двух игроков с нулевой суммой называется антагонистической, т.к. цели игроков в ней прямо противоположны: выигрыш одного игрока происходит только за счет проигрыша другого.
В зависимости от количества стратегий игроков рассматривают конечные и бесконечные антагонистические игры. Конечную антагонистическую игру называют матричной игрой.
Определение
антагонистической игры в нормальной
форме: система , где 
– непустые множества, а функция 
называется антагонистической
игрой в нормальной форме.
Элементы 
и 
называются стратегиями
игроков А
и В
соответственно, а функция К
– функцией
выигрыша
игрока А.
Выигрыш игрока В
в ситуации (x,
y)
полагается равным 
.
Для матричной игры функция выигрыша игрока А имеет вид платежной матрицы. Каждый элемент платежной матрицы aij является выигрышем игрока А (выигрыш игрока В равен – aij), определяемый использованием игроками стратегии Аi и Bj. Строки платежной матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. Если у первого игрока m стратегий, а у второго игрока n стратегий, то платежная матрица имеет размер mxn:
|
или |
|
10.Максиминные и минимаксные стратегии. Верхняя и нижняя оценки игры. Цена игры.
Нижней
ценой игры
называется число ,
определяемое по формуле:
(максимальный из минимальных элементов
каждой строки платежной матрицы). Нижняя
цена игры показывает, какой минимальный
выигрыш может гарантировать себе первый
игрок, применяя свои чистые стратегии
при всевозможных действиях второго
игрока.
Верхней
ценой игры
называется число ,
определяемое по формуле:
(минимальный из максимальных элементов
каждого столбца платежной матрицы).
Верхняя цена игры показывает, каким
числом второй игрок может ограничить
выигрыш первого игрока применением
своих стратегий.
Если в матричной игре нижняя и верхняя цены игры совпадают, т.е. =, то говорят, что эта игра имеет седловую точку и имеет решение в чистых стратегиях. Общее значение верхней и нижней цен игры называется ценой игры: ==. Седловая точка – это пара чистых стратегий (Ai; Bj) при которых достигается равенство =.
Если игра не имеет седловой точки – решения в чистых стратегиях, то рассматривают смешанные стратегии игроков. Согласно теореме Дж. фон Неймана любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.