5.Этапы построения математических моделей

Мы уже говорили, что моделирование вообще и математическое, в

частности, процесс достаточно сложный и творческий. Тем не менее, наука с годами выработала некоторую общую схему проведения исследований посредством математического моделирования и рекомендует определенную последовательность этапов построения математических моделей. Помня о том, «чтобы научиться плавать – надо плавать», мы рассмотрим их на первом примере — кинематическом анализе механизма.

Этап обследования включает следующие работы:

• тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, определяющих его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект,

• сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов,

• аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту),

• анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

Аналитические методы, в результате которых решение представляет со-

бой аналитическую зависимость, формулу, более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если соответствующая математическая задача (хотя бы и в упрощенной постановке) допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного.

Численный методы требуют привлечения компьютеров. Общим для всех

численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. То есть переходом от функции непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. Например, траектория точки В ищется не как непрерывная функция времени, а как табличная (дискретная) функция координат от времени, то есть определяющая значения координат лишь для конечного числа моментов времени. Полученное решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

Естественно, численное решение задачи подразумевает появление по-

грешностей. Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи:

• неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты, правые части уравнений и так далее);

• погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи (например, заменяя производную y/(x) разностным

аналогом (y(x+Dx)-y(x))/Dx, получаем погрешность дискретизации, имеющую при Dx®0 порядок Dx);

• ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел,

представляемых в компьютере.

6.Устойчивость моделей и оптимизация.

Устойчивость и оптимизация

Как уже отмечалось, важным свойством или требованием,

предъявляемым к моделям, является требование их устойчивости.

Можно различить несколько аспектов понятия «устойчивость».

Устойчивость модели по отношению к изменениям ее параметров означает сохранение аппарата моделирования, основных связей между переменными, типов ограничений в некотором интервале ее параметров. Однако это требование является безусловным Традиционным свойством моделей сложных нелинейных динамических систем является наличие в пространстве параметров точек бифуркации (раздвоения), в которых одна траектория теряет устойчивость, и в ее окрестности появляется другая. Термин «бифуркация» в последние годы широко используется, в социологии и политологии, обозначая потерю устойчивости, многовариантность и непредсказуемость ближайшего будущего.ишь в отношении прагматических моделей.

Оптимизация заключается в том, чтобы среди множества объектов (возможных решений, сценариев, вариантов проектируемой системы) найти наилучшие в заданных условиях, при заданных ограничениях, то есть оптимальные альтернативы.

В этой фразе значение имеет каждое слово. Говоря «наилучшие», мы предполагаем, что у нас имеется критерий (или ряд критериев), способ (способы) сравнения вариантов. При этом важно учесть имеющиеся условия, ограничения, так как их изменение может привести к тому, что при одном и том же критерии (критериях) наилучшими окажутся другие варианты.

Понятие оптимальности получило строгое и точное представление в различных математических теориях, прочно вошло в практику проектирования и эксплуатации технических систем, сыграло

важную роль в формировании современных системных представлений, широко используется в административной и общественной практике, стало понятием, известным практически каждому человеку. Это и понятно: стремление к повышению эффективности труда, любой целенаправленной деятельности как бы нашло свое выражение, свою ясную и понятную форму в идее оптимизации.

Иногда оптимизация приводит к неустойчивости. Неустойчивость всегда присутствует в моделях, использующих аппарат линейного программирования: линейная целевая функция всегда достигает экстремума на границе симплекса, а значит, оптимальное

решение может стать недопустимым при малом изменении ситуации (например, минимизация затрат может привести к срыву плана выпуска продукции при малом увеличении расходов). Кроме того, модели, использующие аппарат линейного программирования, являются жесткими (оптимальное решение может сильно меняться при малом изменении коэффициентов целевой функции), однако развитость теоретического и алгоритмического аппаратов стимулирует их широкое использование в качестве «первого приближения».