§4. Решение интегральных уравнений Фредгольма с помощью ряда Неймана

Рассмотрим уравнение второго рода

(4.1)

Решение будем искать в виде ряда по степеням параметра

(4.2)

Подставив ряд (4.2) в уравнение (4.1)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа в полученном равенстве (так как ряды слева и справа от равенства равны только в этом случае) найдем

, , ,

……………………………………………………………………………

.

Докажем сходимость ряда (4.2) при и следующих ограничениях

, , _{. (4.4)}

Для выполнения условий (4.4) достаточно чтобы функция f(x) и ядро K(x,t) в рассматриваемой области были непрерывными. Для ядра K(x,t) можно условие ослабить, потребовав только его регулярность.

_{Оценим коэффициенты ряда (4.2) по модулю в этой области}

……………………………………………………………………………

_{……………………………………………………………………………………………………………….}

Выпишем ряд для искомой функции

_{и ряд составленный из полученных оценок (4.5n)}

, (4.6)

который сходится по признаку Даламбера

, если

или _(4.7)

Ряд (4.6) по построению является мажорирующим для ряда (4.2), следовательно ряд (4.2) по критерию Вейерштрасса сходится равномерно и абсолютно при выполнении условий (4.7). Полученная функция в виде ряда (4.2) является решением уравнения (4.1).

Пример 3. Решить интегральное уравнение методом разложения по параметру

Решение. Подставим ряд по степеням параметра

,

в заданное уравнение

и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях найдём

,

, … ,

;

Ответ:

Ответ получен для ; , но нетрудно проверить, что полученное решение удовлетворяют уравнению при всех значениях , кроме .

§5. Итерированные ядра и резольвента интегральных уравнений Фредгольма

В полученных выражениях коэффициентов ряда Неймана последовательно произведем подстановку в , затем в и так далее, сменив в процессе преобразований обозначения переменных

В кратных интегралах изменим порядок интегрирования в соответствии с ниже изображенной областью интегрирования в уравнении типа Фредгольма

b

а

0

b

а

_{Введем понятие итерированных ядер, положив}

тогда

Аналогично найдём

где

,

……………………………………………………………………………

где

……………………………………………………………………………

Подставим выражения коэффициентов , в соответствии с полученными формулами в ряд (4.2) и, в силу равномерной и абсолютной сходимости этого ряда, можем просуммировать интегралы

Выражение в квадратных скобках назовем резольвентой интегрального уравнения Фредгольма второго рода и для нее введем обозначение

. (5.3)

Если итерированные ядра найдены, а следовательно и резольвента, то решение интегрального уравнения Фредгольма (4.1) определится по формуле

(5.4)

Аналогично, группируя интегралы попарно в формулах

для коэффициентов начиная с последней пары, для итерированных ядер получим другую формулу

n=2,3,…

В формулу резольвенты (5.3) подставив выражения итерированных ядер _или получим формулу для решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода

(5.6)

Из формулы резольвенты (5.3), заменив выражения итерированных ядер по формулам _{и группируя интегралы, получим интегральное уравнение резольвенты}

, (5.7)

которое называют первым фундаментальным соотношением Фредгольма.

Аналогично можно получить другое уравнение резольвенты если воспользоваться формулами

, (5.8)

которое соответственно называют вторым фундаментальным соотношением Фредгольма.

Для итерированных ядер справедливо также соотношение

(5.9)

где , которое получим, если начать попарно менять порядок интегрирования одновременно слева и справа с некоторого m.

Пример 3. Найти резольвенту и записать решение уравнения

Найдём итерированные ядра по формулам

……………………………………………………..

……………………………………………………..

Сделаем проверку