- •Теоретическая механика
- •653500 «Строительство»
- •Введение
- •Программа дисциплины «теоретическая механика»
- •Требования
- •Цели и задачи дисциплины
- •Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •Общие положения
- •Рекомендуется следующий порядок решения контрольных работ
- •Программа раздела «динамика»
- •1. Динамика точки
- •1.1. Введение в динамику точки
- •1.2. Основные понятия и определения
- •1.3. Основные законы механики
- •1.4. Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в декартовой системе отсчета
- •1.5. Дифференциальные уравнения движения несвободной материальной точки в естественных координатных осях
- •1.6. Задачи динамики точки
- •1.7. Алгоритм решения первых задач динамики точки в декартовой системе отсчета
- •1.8. Пример решения первой задачи динамики точки в декартовой системе отсчета
- •1.9. Алгоритм решения первых задач динамики точки в естественных координатных осях
- •1.10. Пример решения первой задачи динамики точки в естественных координатных осях
- •1.11. Алгоритм решения вторых задач динамики точки в декартовой системе отсчета
- •Варианты 6 – 10 (рис. 1.10)
- •Варианты 11 – 15 (рис. 1.11)
- •В Рис. 1.12 арианты 16 – 20 (рис. 1.12)
- •Варианты 21 – 25 (рис. 1.13)
- •Варианты 26 – 30 (рис. 1.14)
- •1.13. Пример выполнения курсового задания д 1
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •2. Колебательное движение точки и тела
- •2.1. Виды колебательных движений материальной точки
- •2.2. Свободные колебания материальной точки
- •2.3. Дифференциальное уравнение движения точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и силы сопротивления движению
- •2.4. Затухающие колебания материальной точки
- •2.5. Апериодическое движение точки
- •2.6. Вынужденные колебания материальной точки под действием постоянной системы сил, восстанавливающей силы и возмущающей силы
- •2.7. Влияние сопротивлений движению на вынужденные колебания материальной точки
- •2.8. Алгоритм решения задач на колебания материальной точки
- •2.9. Пример решения задачи на свободные колебания груза по гладкой наклонной поверхности
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •3.2. Частные случаи относительного движения материальной точки
- •3.3. Принцип относительности классической механики. Инерциальные системы отсчета
- •3.4. Алгоритм решения задач на динамику относительного движения материальной точки
- •3.5. Варианты курсового задания д 2 «Исследование относительного движения материальной точки»
- •3.6. Пример выполнения курсового задания д 2
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •4. Геометрия масс механической системы
- •4.1. Центр масс механической системы
- •4.2. Алгоритм определения кинематических характеристик центра масс механической системы
- •4.3. Моменты инерции твердого тела. Радиус инерции
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5. Общие теоремы динамики
- •5.1. Теорема о движении центра масс механической системы
- •Следствия из теоремы о движении центра масс
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5.2. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и количества движения механической системы
- •5.2.1. Теорема об изменении количества движения
- •5.2.2. Теорема об изменении количества движения
- •Следствия из теоремы
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5.3. Теоремы об изменении момента количества
- •5.3.1. Моменты количества движения
- •5.3.2. Теорема об изменении момента количества
- •Следствия из теоремы
- •5.3.3. Кинетический момент механической
- •5.3.4. Теорема об изменении кинетического
- •Следствия из теоремы
- •5.3.5. Варианты курсового задания д 3
- •5.3.6. Пример выполнения курсового задания д 3
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5.4. Динамика движений твердого тела
- •5.4.1. Динамика поступательного движения твердого тела
- •5.4.2. Динамика вращательного движения твердого тела
- •5.4.3. Динамика плоскопараллельного движения
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5.5. Теорема об изменении кинетической энергии
- •5.5.1. Работа силы на перемещении точки ее приложения
- •5.5.2. Кинетическая энергия механической системы
- •5.5.3. Варианты курсового задания д 4
- •5.5.4. Пример выполнения курсового задания д 4
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •5.6. Принцип Даламбера для материальной точки и механической системы
- •5.6.1. Принцип Даламбера для несвободной
- •5.6.2. Принцип Даламбера для несвободной
- •5.6.3. Приведение сил инерции точек твердого
- •5.6.4. Варианты курсового задания д 5
- •5.6.5. Пример выполнения курсового задания д 5
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •6. Основные начала аналитической механики
- •6.1. Обобщенные координаты и возможные перемещения тел и точек механической системы
- •6.2. Связи и их классификация. Идеальные связи
- •6.3. Принцип возможных перемещений
- •6.3.1. Варианты курсового задания д 6
- •6.3.2. Пример выполнения курсового задания д 6
- •6.3.4. Пример выполнения курсового задания д 7
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •6.4. Общее уравнение динамики
- •6.4.1. Общее уравнение динамики механической системы
- •6.4.2. Варианты курсового задания д 8
- •6.4.3. Пример выполнения курсового задания д 8
- •Вопросы и задания для самоконтроля
- •6.5. Уравнения Лагранжа второго рода
- •Вопросы и задания экзаменационных билетов
- •Пример ответа на экзаменационный билет
- •Решение
- •Решение
- •Уравнения динамического равновесия:
- •Билет № 2
- •Билет № 3
- •Билет № 4
- •Билет № 5
- •Билет № 6
- •Билет № 7
- •Билет № 8
- •Билет № 9
- •Билет № 10
- •Билет № 11
- •Билет № 12
- •Билет № 13
- •Билет № 14
- •Билет № 15
- •Билет № 16
- •Билет № 17
- •Билет № 18
- •Билет № 19
- •Билет № 20
- •Оглавление
- •Для заметок Для заметок Для заметок
- •644099, Омск, ул. П. Некрасова, 10
- •644080, Омск, пр. Мира, 5
2.2. Свободные колебания материальной точки
Свободные колебания происходят под действием постоянной системы сил и восстанавливающей силы.
Для получения дифференциальных уравнений колебательного движения точки воспользуемся расчетной схемой, приведенной на рис. 2.1,б.
Согласно рис. 2.1,б на точку действует постоянная система сил (G, N) и восстанавливающая сила Fyn. Дифференциальные уравнения движения точки имеют вид:
m = ΣFiоy + ΣRiоy = – Fyn = – cΔ = – cy;
m = ΣFiоz + ΣRiоz = – G + N.
В
Рис. 2.2
Дифференциальное уравнение горизонтального движения точки представим в виде
+ (c/m)у = 0.
Введем постоянный коэффициент k2 = c/m или . Тогда имеем
+ k2y = 0.
Это выражение называют дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.
Коэффициент k называют циклической частотой свободных колебаний, который измеряют в рад/с или в с-1. Физический смысл коэффициента k – число полных колебаний за время t = 2π = 6,28 c.
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет два вида.
Первый вид:
y = C1coskt + C2sinkt,
где С1, С2 – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.
Пусть при t0 = 0 точка имеет координату y0 и проекцию скорости V0 на ось ОY. Тогда уравнение свободных колебаний точки получит вид
y = y0coskt + ( /k)sinkt.
Второй вид:
y = Asin(kt + β),
где А и β – постоянные интегрирования; А – амплитуда свободных колебаний; (kt + β) – фаза колебаний; β – начальная фаза колебаний.
По заданным начальным условиям движения точки (y0, ) постоянные интегрирования определяют по следующей совокупности формул:
; sinβ = y0/A; cosβ = /(Ak); tgβ = ky0/ .
Н
Рис. 2.3
При изучении свободных (гармонических) колебаний широко используют понятия «амплитуда А», «период Т свободных колебаний».
Амплитуда свободных колебаний – величина наибольшего отклонения точки от положения статического равновесия.
Период свободных колебаний – отрезок времени, за который точка проходит положение статического равновесия в одном и том же направлении.
Период свободных колебаний определяют по формуле
T = 2π/k = 2π/ .
Анализ формулы показывает, что период свободных колебаний Т является постоянной величиной. С возрастанием массы m точки период Т увеличивается и соответственно уменьшается при увеличении коэффициента «с» жесткости пружины.
Следует отметить, что свободные колебания не затухают.
Для практических расчетов рекомендуется использовать формулу
y = Asin(kt + β).
В инженерной практике довольно часто рассматривают колебательное движение тела, подвешенного на пружинах или установленного на них. Если начало системы отсчета поместить в положение статического равновесия груза, то эти колебания также сводятся к свободным колебаниям точки, дифференциальное уравнение движения которой имеет стандартный вид + k2y = 0 и, следовательно, стандартное решение.