12 Распределение энергии в спектре непериодического сигнала. Равенство Парсеваля

Рассмотрим непериодический сигнал u(t), физическим представлением которого будем считать электрическое напряжение на резисторе с сопротивлением в 1 Ом.

Тогда энергия, выделяемая на этом резисторе:

(54)

Предполагаем, что интеграл сходится. Выразим энергию через модуль спектральной характеристики S() сигнала u(t). Квадрат модуля запишем в виде:

(55)

где - функция, комплексно-сопряженная S(j) сигнала u(t).

Тогда

После изменения последовательности интегрирования и использования обратного преобразования Фурье получим:

Окончательно имеем (56)

Соотношение (56) известно как равенство Парсеваля. Оказывается, энергию, выделяемую непериодическим сигналом за время его существования, можно определить, интегрируя квадрат модуля его спектральной характеристики в интервале частот.

Каждое из бесконечно малых слагаемых соответствующих бесконечно малым участкам спектра, характеризует энергию, приходящуюся на спектральные составляющие сигнала, сосредоточенные в полосе частот от  до +d.

В связи с этим возникает необходимость ввести в рассмотрение модели сигналов, обладающие как конечной длительностью, так и ограниченным спектром. При этом, в соответствии с каким либо критерием ограничивается либо ширина спектра, либо длительность сигнала, либо оба параметра одновременно. В качестве такого критерия используется энергетический критерий, согласно которому практическую длительность Т_П и практическую ширину спектра _П выбирают так, чтобы в них была сосредоточена подавляющая часть энергии сигнала.

Для сигналов, начинающихся в момент времени t₀ = 0 практическая длительность определяется из соотношения

(59)

где  - коэффициент, достаточно близкий к 1 (от 0,9 до 0,99 в зависимости от требований к качеству воспроизведения сигнала).

Принимая во внимание равенство Парсеваля (56), для практической ширины спектра сигнала соответственно имеем

(60)

13.Соотношения между длительностью импульсов и шириной их спектра.

Анализируя спектр одиночного прямоугольного импульса видно, что при увеличении его длительности  от 0 до  спектр сокращается от безграничного (у  – функции) до одной спектральной линии в начале координат, соответствующей постоянному значению сигнала. Это свойство справедливо для сигналов любой формы.

Рассмотрим u(t) определенной продолжительности и функцию u(t), длительность которой при >1 в  раз меньше. Зная спектральную характеристику S(j), найдем соответствующую характеристику S_(j) для u(t):

(57)

где t’ = t

Сл-но, спектр укороченного в  раз сигнала в  раз шире. Коэффициент 1/ перед S(j/) изменяет только амплитуду гармонических составляющих и на ширину спектра не влияет.

Длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. Т.е.если длительность сигнала ограничена, то спектр его неограничен, и, наоборот, сигнал с ограниченным спектром длится бесконечно долго. (Все это вытекает из интегрального преобразования Справедливо соотношение

t = С (58)

где t – длительность импульса;  - ширина спектра импульса; С – постоянная величина, зависящая от формы импульса (при ориентировочных оценках обычно принимают С = 1).

Реальные сигналы ограничены во времени, генерируются и передаются устройствами, содержащими инерционные элементы (емкость и индуктивность поэтому не могут содержать гармонические составляющие сколь угодно высоких частот.