20.Частотное представление стационарных случайных сигналов.

Дискретные спектры.

Рис. 15

Корреляционную функцию R_u() (см. рис. 15) стационарного случайного процесса, заданного на конечном интервале времени [-T, T], можно разложить в ряд Фурье (15), условно считая ее периодически продолжающейся с периодом 4Т (при –T < t₁, t₂ < T, -2T<<2T):

(91)где _k = k₁, ₁=  / 2T;

По аналогии с (64) (92)

Т.к.R_u() является четной функцией, то (93)

при = t₁ – t₂, (94)

что согласно (89) представляет собой каноническое разложение корреляционной функции. По нему получаем разложение случайного процесса:

(95); причем (96)

Выражение (95) зап для случайного процесса с нулевой постоянной составляющей, что характерно для многих реальных сигналов. В общем случае в правую часть этого выражения необходимо добавить постоянную величину, соответствующую мат ожиданию случ процесса (m_u). Корреляционная функция при этом не изменяется.

При попарном объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми положит и отрицат индексами k канонич разложение(95) приводится к тригонометрич форме.

Т.о. стационарный случайный процесс на ограниченном интервале времени можно представить совокупностью гармонич составляющих различных частот с амплитудами, явл-ся некоррелированными случ величинами, мат ожидания которых равны нулю.

(96а);

где ;

На спектральной диаграмме такого процесса каждой гармонике ставится в соответствие вертикальный отрезок длина которого пропорциональна дисперсии ее амплитуды, а расстояние на оси абсцисс отвечает частоте. (рис. 16)

Рис. 16

Чтобы получить описание стационарного случайного процесса в точном смысле, т.е. справедливое для любого момента времени на бесконечном интервале -<t< необходимо перейти к интегральному каноническому разложению.

21.Непрерывные спектры.

Интегральное каноническое разложение для корреляционной функции получим из путем предельного перехода при Т. Увеличения интервала времени, на котором наблюдается случайный процесс, сопровождающийся уменьшением значений дисперсий, что следует из (92), а также сокращением расстояний между спектральными линиями, поскольку

(97)

При достаточно большом, но конечном Т можно записать выражение для средней плотности распределения дисперсии по частоте:

(98)

где - средняя плотность дисперсии на участке, прилегающем к частоте _k

Теперь можно преобразовать формулы (91) и (98) к виду. D_k подставляем из (92).

(99)

(100)

Переходя к пределу при Т, получаем

(101)

где (102)

Т.к. величина  являлась не только дисперсией D_k коэффициента разложения корреляционной функции R_u(), но и дисперсией D[C_k] коэффициента разложения случайного процесса U(t), то величина S_uu()d, полученная в результате предельного перехода при Т, представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектральные составляющие стационарного случайного процесса, занимающие бесконечно малый интервал частот (, +d). Функцию S_uu(), характеризующую распределения дисперсии случайного процесса по частотам, называют спектральной плотностью стационарного случайного процесса U(t).

Выражение для интегрального канонического разложения корреляционной функции R_u(t) найдем, положив в формуле (101) t = t₁ – t₂ :

(103)

Обозначив и повторив процедуру предельного перехода при Т для соотн-я , получим канонич разлож-е стационарной случ функции _{: (104); где дисперсией случ ф-ии G()d является ф-я} S_uu(w)dw.