§ 3. Применение I начала тд к равновесным процессам в идеальных газах.

Опытным путем, еще до появления молекулярно-кинетической теории, был установлен целый ряд законов, описывающих поведение идеальных газов в различных процессах. Эти законы можно назвать уравнениями процессов. Обобщив эти уравнения, французский физик Б. Клапейрон вывел уравнение состояния идеального газа, а Д.И. Менделеев ввел универсальную газовую постоянную, поэтому уравнение состояния идеального газа называется уравнением Менделеева-Клапейрона.

Запишем первое начало термодинамики для одного моля идеального газа, .

1. Изохорический процесс - процесс, происходящий при постоянном объеме.

Для изохорического процесса давление и температура связаны между собой законом Гей-Люссака , где - термический коэффициент изменения давления, - температура в градусах Цельсия.

Э то уравнение на диаграмме состояний в -координатах представляет собой прямую параллельную оси , а на диаграмме в -координатах представляет собой прямую, как бы выходящую из начала координат, если температуру по оси , будем откладывать в Кельвинах. Если температуру будем откладывать в Цельсиях, то изохора пересечет ось температур в точке . Отсюда .

Закон Гей-Люссака имеет и более удобный вид: .

П ри изменении состояния идеального газа с на состояние согласно закону Гей-Люссака получим уравнение процесса , связывающее параметры начального и конечного состояния идеального газа.

Для этого процесса   . Система не совершает работу, следовательно, количество теплоты, передаваемое системе, идет на изменение ее внутренней энергии .

Таким образом, I начало ТД для изохорического процесса: количество теплоты, передаваемое системе, идет на изменение внутренней энергии системы. С учетом теплоемкости выглядит так: .

Изменение внутренней энергии одного моля идеального газа, с учетом молярной теплоемкости и калорического уравнения состояния .

Для молей вещества .

2. Изобарический процесс - процесс, происходящий при постоянном давлении.

Для изобарического процесса объем и температура связаны между собой законом Гей-Люссака , где - термический коэффициент объемного расширения, - температура в градусах Цельсия.

Э то уравнение на диаграмме состояний в -координатах представляет собой прямую параллельную оси , а на диаграмме в -координатах представляет собой прямую, как бы выходящую из начала координат. В общем случае при закон не выполняется, т.к. газы переходит в жидкое состояние (за исключением гелия). Если температуру будем откладывать в Цельсиях, то изохора как бы пересечет ось температур в точке . Аналогично уравнению изохорического процесса, закон Гей-Люссака имеет и другой более удобный вид: .

П ри изменении состояния идеального газа с на состояние согласно закону Гей-Люссака получим уравнение процесса , связывающее параметры начального и конечного состояния идеального газа.

Для этого процесса  . Система совершает работу при расширении от объема до объема , температура системы соответственно изменяется от до графически эту работу можно представить, как площадь под графиком процесса в -координатах. Вычислим интеграл и получим выражение для работы:

 .

Выразим работу через изменение температуры. Запишем систему из уравнений состояния моля идеального газа и: , отнимем от второго уравнения первое

, отсюда получим

.

Для молей вещества:

Изменение внутренней энергии в этом процессе  .

Для молей вещества .

I начало ТД для изобарического процесса: количество теплоты, передаваемое системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы. В дифференциальной форме для одного моля с учетом теплоемкости:

.

3. Изотермический процесс - процесс, происходящий при постоянной температуре.

Изотермический процесс можно осуществить, поместив систему, сосуд с поршнем, в термостат. Термостат – тело с настолько большой теплоемкостью , что его температура при теплообмене с какой-либо системой не меняется. Когда говорят о системе помещенной в термостат, то имеют в виду систему, в которой при всех происходящих в ней процессах (расширение, намагничивание и т.д.) температура поддерживается постоянной.

Если в этих условиях перемещать поршень вниз, то под действием внешней силы газ будет сжиматься, и работу будет совершать внешняя сила. Если газ будет расширяться, то поршень будет перемещаться вверх, и работу будет совершать газ.

Для реализации условий изменения должна происходить  - медленно.

У равнение изотермического процесса – это уравнение Бойля-Мариотта.

Уравнение изотермы на диаграмме состояний в -координатах представляет собой гиперболу, положение которой зависит от . Если газ переходит из состояния в состояние , то уравнение состояния выглядит так или .

Система совершает работу при расширении от объема до объема , давление в системе соответственно изменяется от до , графически эту работу можно представить, как площадь под графиком изотермы в -координатах. Вычислим интеграл и получим выражение для работы одного моля газа:

 .

При вычислении учли, что давление и объем связаны уравнением состояния , если учтем уравнение процесса, то получим другое выражение .

Для молей идеального газа

Для изотермического процесса   изменение внутренней энергии равно нулю.

I начало ТД для изотермического процесса: в изотермическом процессе все количество теплоты, передаваемое системе, идет на совершение системой работы по расширению. В дифференциальной форме для одного моля: .

4. Адиабатический процесс - процесс, происходящий в изолированной системе, когда нет теплообмена с окружающей средой.

Для адиабатического процесса и I начало ТД в дифференциальной форме . С учетом зависимости внутренней энергии от температуры:

I начало ТД для адиабатического процесса: в адиабатическом процессе система совершает работу за счет убыли внутренней энергии , и наоборот, работа, совершаемая над системой идет на увеличение ее внутренней энергии .

Получим из I начала ТД и уравнения состояния идеального газа уравнение адиабатического процесса (уравнение адиабаты).

Продифференцируем уравнение состояния для одного моля идеального газа .

 , подставим в I начало ТД

, перегруппируем подобные слагаемые,

приведем выражение в скобке к общему знаменателю

учтем соотношение Майера и разделим на

, введем обозначение отношения , оно называется - показатель адиабаты. Разделим переменные и решим дифференциальное уравнение, взяв интеграл:

   отсюда

  .

Уравнение адиабаты , было получено Пуассоном, и еще называют коэффициентом Пуассона. Учитывая уравнение состояния, для уравнения адиабаты есть и другие способы записи: , .

Уравнения Пуассона применимы только для описания квазистатических адиабатических процессов, уравнения справедливы лишь в интервале давлений, где величина постоянная. Т.к. , то при адиабатическом сжатии газ нагревается, а при адиабатическом расширении – охлаждается.

В общем случае нужно учитывать, что функция , т.е. .

Уравнение адиабаты на диаграмме состояний в -координатах представляет собой гиперболу, положение которой зависит от , но график идет круче чем изотерма для той же системы, т.к. при увеличении объема давление уменьшается быстрее. Если газ переходит из состояния в состояние , то площадь под графиком изотермы больше, чем площадь под графиком адиабаты и, следовательно, система изотермическом процессе совершает большую работу, чем в адиабатическом процессе при том же расширении.

Вычислим работу, совершаемую идеальным газом в адиабатическом процессе расширения от объема до объема :

, если вынести из скобок , учесть то получим более простые выражения

.

Каждое выражение можно использовать для вычисления численного значения произведенной работы в конкретном процессе.

Таким образом, работа при одном и том же изменении объема в адиабатическом процессе меньше, чем в изотермическом процессе. Но она существенно зависит от показателя адиабаты . При значении величина работы стремится к значению при изотермическом процессе.

5. Политропный процесс - процесс, при котором теплоемкость системы остается постоянной . При таком процессе происходит частичный теплообмен системы с окружающей средой.

Это самый общий процесс, т.к. полностью исключить теплообмен системы с окружающей средой практически невозможно.

I начало ТД для политропного процесса: количество теплоты, передаваемое системе, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение системой работы. В дифференциальной форме для одного моля с учетом теплоемкости:

Получим из I начала ТД и уравнения состояния идеального газа уравнение политропного процесса (уравнение политропы)

Продифференцируем уравнение состояния для одного моля идеального газа .

 , подставим в I начало ТД

, перегруппируем подобные слагаемые,

учтем соотношение Майера

разделим на

, введем обозначение отношения , оно называется - показатель политропы.

Разделим переменные и решим дифференциальное уравнение, взяв интеграл:

   отсюда

  .

Уравнение политропы .

Учитывая уравнение состояния, для уравнения политропы, аналогично уравнению адиабаты, есть и другие способы записи:

, .

График политропы на диаграмме состояний в - координатах представляет собой гиперболу, занимающую промежуточное положение между изотермой и адиабатой.

Работа, совершаемая в политропном процессе, вычисляется аналогично работе в изобарическом процессе:

.

Если , то работа совершается над газом, газ сжимается.

Изменение внутренней энергии в этом процессе  , как и для всех других процессов в идеальном газе.

Для молей вещества .

Числовые значения показателя политропы определяются опытным путем.

З ависимость теплоемкости от для идеального газа показана на графике.

Все изопроцессы могут быть рассмотрены, как предельные случаи политропного процесса.

1. адиабатический процесс .

В этом процессе , показатель политропы превращается в показатель адиабаты .

уравнение политропы превращается в уравнение адиабаты. , , .

2. изотермический процесс .

В этом процессе , показатель политропы равен единице .

уравнение политропы превращается в уравнение изотермы.

, , .

3. изобарический процесс .

В этом процессе , показатель политропы равен нулю .

, уравнение политропы превращается в уравнение изобары.

, , , .

4. изохорический процесс .

В этом процессе , показатель политропы равен бесконечности .

, уравнение политропы превращается в уравнение изохоры.

, , .