- •Глава 2
- •§1 Основные математические понятия.
- •§2 Макроскопические и микроскопические системы. Постулат равновероятности. Эргодическая гипотеза. Статистический вес. Флуктуации.
- •§3 Распределение Больцмана.
- •§4 Распределение Максвелла.
- •§5 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.
- •§6 Функция Больцмана
- •§7 Распределение энергии по степеням свободы.
- •§8 Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.
- •Глава 3. Процессы переноса.
- •§1 Длина свободного пробега, среднее число столкновений.
- •§2 Явления переноса.
- •§3 Молекулярная теория явлений переноса в газах.
- •Глава 4. Реальные жидкости и газы.
- •§1 Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия.
- •§2. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •§ 3. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ.
- •Часть 7—6 — отвечает газообразному состоянию;
- •Часть 2—1 — жидкому;
- •Часть 6—2, — горизонтальный участок, соответствующий равновесию жидкой и газообразной фаз вещества.
- •§ 4. Внутренняя энергия реального газа
- •§ 5. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение
- •§ 6. Смачивание
- •§ 7. Давление под искривленной поверхностью жидкости
- •§ 8. Капиллярные явления
- •§ 9. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела
- •§10. Фазовые переходы I и II рода
- •§ 11. Диаграмма состояния. Тройная точка
Глава 2
§1 Основные математические понятия.
Как мы раньше говорили, с одной стороны, информация о положениях и скоростях всех отдельных частиц системы идеального газа является наиболее полной мыслимой информацией, а с другой стороны, в своей непосредственной форме она неприменима для анализа свойств и поведения системы. Чтобы информацию, содержащуюся в этих сведениях, можно было использовать, необходимо свести ее к некоторым обобщенным характеристикам совокупности частиц таким образом, чтобы они отражали наиболее существенные свойства этой совокупности, были бы легко обозримыми и сформулированными математически. Эти вопросы разработаны в теории вероятностей и математической статистике.
Разделим объем, который занят идеальным газом, на две равные части. Будем считать, что можем различать частицы и следить за положением отдельной частицы, не оказывая актом наблюдения существенного влияния на ее движение и состояние наблюдаемой системы в целом. Допустим, что система находится в неизменных внешних условиях. Рассмотрим событие, состоящее в том, что изучаемая частица находится в одной из половин объема. Тогда результат каждого наблюдения сводится к утверждению, что событие либо произошло, т.е. частица находится в данной половине объема, либо не произошло, т.е. ее нет в этой половине. Обозначим - общее число наблюдений или «испытаний»; - число испытаний, когда событие произошло, т.е. частица находилась в рассматриваемой половине объема; - само событие. Вероятность наступления события определяется формулой:
Здесь существенно очень большое число испытаний в системе, находящейся в неизменных условиях. Вместо требований испытаний над одной и той же системой в неизменных условиях можно говорить о совокупности отдельных испытаний над большим числом одинаковых систем. Это большое число одинаковых систем называется ансамблем систем.
Для непрерывных случайных величин вводится понятие плотности вероятности. Плотностью вероятности равняется вероятность нахождения молекулы в бесконечно малом объеме, отнесенном к этому объему:
, где - координаты точки, к которой стягивается бесконечно малый объем .
Случайная величина считается заданной, если заданы спектр ее значений и функция распределения плотности вероятности принимать эти значения. Функция плотности вероятности является непрерывной, дифференцируемой, конечной и нормированной на 1.
Из этого определения следует, что если произвести наблюдений, то в объеме в окрестности точки молекула будет обнаружена в случаях.
В конечном объеме молекула окажется обнаруженной раз. Отсюда следует, что вероятность быть обнаруженной при наблюдении в объеме для молекулы равна: .
Если в качестве объема взять все пространство , то при каждом испытании частица окажется в какой-то точке пространства и, следовательно, число наблюдений частицы в объеме равно числу испытаний , т.е. и следовательно вероятность нахождения частицы в объеме равна единице. Условие
называется условием нормировки плотности вероятности. Оно выражает факт существования молекулы.
Среднее значение непрерывно изменяющейся величины (еще называют математическим ожиданием случайной величины с учетом вероятности):
,
где - плотность вероятности распределения случайной величины х.
Дисперсия. «Разброс» величины около ее среднего значения характеризуется дисперсией. Она определяется средним квадратом отклонения рассматриваемой величины от ее среднего значения и задается формулой для непрерывной случайной величины:
Корень квадратный из дисперсии называется стандартным или среднеквадратичным отклонением.
Функция распределения вероятностей. Вероятность того, что случайная величина х принимает значения, меньшие некоторого заданного числа х0, т.е. определяется формулой:
.
Функция называется функцией распределения вероятностей.
В физике принято характеризовать распределение вероятностей посредством плотности вероятности. При этом слова «плотность» и «вероятность» опускаются, и говорится просто о распределении. Например, функция называется просто функцией распределения координат. Можно говорить о функциях распределения скоростей, импульсов и т.д. вид функции распределения зависит от физических условий, свойств частиц и т.д. Однако имеются наиболее типичные распределения, которые реализуются при весьма общих физических условиях. Это распределение Гаусса, Биномиальное распределение, распределение Пуассона и т.д.