- •Глава 2
- •§1 Основные математические понятия.
- •§2 Макроскопические и микроскопические системы. Постулат равновероятности. Эргодическая гипотеза. Статистический вес. Флуктуации.
- •§3 Распределение Больцмана.
- •§4 Распределение Максвелла.
- •§5 Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.
- •§6 Функция Больцмана
- •§7 Распределение энергии по степеням свободы.
- •§8 Статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна.
- •Глава 3. Процессы переноса.
- •§1 Длина свободного пробега, среднее число столкновений.
- •§2 Явления переноса.
- •§3 Молекулярная теория явлений переноса в газах.
- •Глава 4. Реальные жидкости и газы.
- •§1 Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия.
- •§2. Уравнение Ван-дер-Ваальса
- •§ 3. Изотермы Ван-дер-Ваальса и их анализ.
- •Часть 7—6 — отвечает газообразному состоянию;
- •Часть 2—1 — жидкому;
- •Часть 6—2, — горизонтальный участок, соответствующий равновесию жидкой и газообразной фаз вещества.
- •§ 4. Внутренняя энергия реального газа
- •§ 5. Свойства жидкостей. Поверхностное натяжение
- •§ 6. Смачивание
- •§ 7. Давление под искривленной поверхностью жидкости
- •§ 8. Капиллярные явления
- •§ 9. Испарение, сублимация, плавление и кристаллизация. Аморфные тела
- •§10. Фазовые переходы I и II рода
- •§ 11. Диаграмма состояния. Тройная точка
§3 Распределение Больцмана.
Как мы рассмотрели ранее, микропараметры системы многих частиц являются случайными величинами и для определения их значений нужно знать функции распределения.
Существует различные функции распределения. В классической физике используется классическая статистика Максвелла-Больцмана, в которой движение частиц определяется законами Ньютона, частицы считаются различимыми.
Это распределение частиц по энергиям.
Пусть система состоит из материальных точек. Для каждой 3 скорости и 3 координаты. Разобьем все координатное пространство и пространство скоростей на участков и будем определять число частиц координаты и скорости которых попали в участок от до и от до . Энергия частиц подгруппы:
, где - энергия 1 частицы группы.
Энергия всей системы , где
Определим статистический вес состояния из групп по частиц (число размещений). Математика (комбинаторика) дает формулу:
, подставим это выражение в формулу Больцмана:
.
Учтем формулу Стирлинга для вычисления факториала:
при
при величиной можно пренебречь.
Тогда
У нас идеальный газ находится в фиксированном объеме. Запишем изменение энергии, связанное с тем, что меняется число частиц в группе.
Основное ТД тождество для открытой системы :
, так как , то
В нашем случае, изменение внутренней энергии частиц в группе и изменение числа частиц в группе связаны: ; , отсюда изменение энтропии, связанное с тем, что меняется число частиц в группе:
Подставим полученное выражение в основное ТД тождество для открытой изохорической системы:
сгруппируем
отсюда
. Теперь выразим отношение :
,
, следовательно
, так как величина , то можно ее обозначить , тогда с учетом, того что вероятность частицы попасть в участок, мы получим распределение Больцмана: - вероятность того, что молекула идеального газа имеет энергию , т.е. находиться в -ом состоянии. Это дискретное распределение, но его можно сделать непрерывным.
В данном распределении остается скрытой предпосылка осуществления этого распределения – различимости частиц. Эта предпосылка с физической точки зрения ошибочна, потому что в природе нет различимых частиц, и все реально существующие частицы описываются либо распределением Ферми-Дирака, либо распределением Бозе-Эйнштейна. Однако в наиболее часто встречающихся ситуациях классической физики распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна практически совпадают с распределением Максвелла-Больцмана, которое благодаря этому является основным распределением классической статистической физики.
§4 Распределение Максвелла.
Полная энергия системы равна сумме ее потенциальной и кинетической энергий.
Рассмотрим распределение Больцмана, в котором энергия системы представлена в виде суммы двух слагаемых. По свойству потенциальной функции, выражение можно разложить на произведение двух сомножителей, каждый из которых является функцией определенного вида энергии:
В таком виде выражение называется функцией распределения Максвелла-Больцмана. Сомножитель, зависящий от кинетической энергии, называется функцией Максвелла, а сомножитель, зависящий от потенциальной энергии – функцией Больцмана.
Найдем вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале .
Плотность вероятности этого – функция распределения Максвелла.
Определим константу из условия нормировки:
, так как компоненты скорости независимы, то
. Обозначим константу , , тогда после замены мы получим табличный интеграл:
, значение интеграла , отсюда получим
, следовательно:
.
Таким образом - плотность вероятности молекул иметь скорость в интервале от , распределение молекул по проекциям координат.
Теперь найдем вероятность того, что молекулы имеют скорость в интервале по абсолютному значению (по модулю). Для этого перейдем от распределения проекций скоростей к распределению по модулю скорости. Удобнее переход сделать в системе сферических координат.
Оператор Лапласа дает коэффициент перехода от декартовой системы координат к сферической:
,
Нас интересуют только абсолютные значения, поэтому:
, с учетом вычисленных интегралов:
, отсюда плотность вероятности:
Зная плотность распределения молекул по абсолютному значению скорости, мы можем рассчитать три характеристические скорости движения молекул идеального газа.
Средняя арифметическая скорость:
выделим для замены переменной
сделаем замену переменной
и учтем, значение табличного интеграла: , , получим после сокращения констант:
, где - постоянная Больцмана, - масса молекулы, преобразуем, умножив числитель и знаменатель дроби на число Авогадро:
, где - молярная масса компоненты системы.
Результат: - средняя арифметическая скорость движения молекул идеального газа.
Средняя квадратичная скорость:
,
сделаем замену переменной:
, тогда , , отсюда ,
, разделим переменные и найдем связь между и
, подставим полученное значение в дифференциал:
, .
Подставим все в интеграл:
преобразуем,
, учтем значение табличного интеграла:
, таким образом
- средняя квадратичная скорость.
Наиболее вероятная скорость:
Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие:
обозначим константу и найдем производную произведения
так как величина , то должно выполняться условие:
, ,
- скорость наиболее вероятная.
П ри комнатной температуре средняя арифметическая скорость движения молекул:
, а характеристические скорости водорода в 4 раза больше.
Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне?
Если - число молекул в единице объема, то - число молекул, скорости которых распределены в интервале от до равно:
, если учесть что , и введя переменные , , , то
- такой вид более нагляден, для анализа формы кривой распределения Максвелла. В книгах имеются таблицы интеграла: с их помощью упрощаются вычисления величины .
Из таблиц в частности находим, что:
Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало.
Для экспериментальной проверки было проделано много опытов. Самый известный – опыт Штерна (1920). На оси двух коаксиальных цилиндров ( и ) расположена платиновая нить, покрытая слоем . Нить нагревали током, серебро испарялось, и его атомы хаотично вылетали по всем радиальным направлениям. При этом они имели и различные скорости движения. Воздух внутри цилиндров откачивался, чтобы столкновения молекул серебра с молекулами воздуха не искажали картину. Атомы серебра равномерно покрывали поверхность внешнего цилиндра, что указывало на равновероятность всех направлений их скорости. Затем во внутреннем цилиндре - узкая щель, диафрагмирующая пучок атомов по направлению (скорости любые по величине). Внешний цилиндр приводили во вращение ( ) об/мин.
В зависимости от скорости атомы попадают на разные участки поверхности вращающегося цилиндра, согласно формуле на участок АВ:
.
Чем больше атомов осаждается на стенке, тем толще пленка. Измеряя толщину пленки, можем определить число атомов, обладающих скоростью, лежащей в некотором диапазоне, т.е. построить диаграмму, которая при сглаживании схожа с кривой распределения Максвелла .