- •1.Кільце многочленів к[X].
- •Означення многочлена
- •Дії над многочленами.
- •Подільність в кільці многочленів p[X],де р-поле. План
- •Спосіб знаходження нсд двох многочленів – алгоритм Євкліда.
- •Лінійне представлення нсд
- •Корені многочлена План
- •Означення і ознака кореня многочлена. Кратні корені.
- •3. Формули Вієта.
3. Формули Вієта.
Ф. Вієт (1540-1603) видатний французький математик.
4. Про алгебраїчну і функціональну рівність многочленів.
Приклади.
Алгебраїчна рівність:
Означення 1: Многочлени називають рівними між собою і записують , якщо канонічні форми цих многочленів збігаються: тобто .
Нехай многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце що є розширенням R. Якщо α – будь-який елемент з С то має сенс вираз:
, бо в (1) С визначено дії множення і додавання над елементами α, . Вираз (1) утворений з заміного символа х елементом α. Позначають f(α) і називають значенням многочлена f(х) при х=α.
Кожному відповідає за цим правилом єдиний елемент f(α) .
Теорема 2: Якщо f(х) — будь-який многочлен над областю цілісності R, а С – деяке комутативне кільце, яке є розширенням R, то поставивши кожному елементу у відповідність елемент f(α) , дістаємо функцію .
Наслідок : Якщо R — область цілісності, що є числовим полем , то многочлени рівні між собою тоді і тільки тоді, коли їх значення в довільний точці області R рівні між собою.
*******************************************************************************
Лекція 4
Кратні множники многочлена
План.
Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
Незвідні кратні множники многочлена.
Задача відокремлення кратних множників.
Ознака кратності кореня многочлена.
Похідна многочлена. Властивості. Схема обчислення похідних в точці.
Похідною .від многочлена f’(x)=nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+2a2x +a1(*).
Похідна від многочлена нульового степеня, а також похідну від нуль-многочлена беруть рівною нулю.
Похідна від многочлена над полем Р є знову многочлен над полем Р.
Будемо розглядати многочлени та їх похідні над полем дійсних чисел.
deg f’=degf-1.
Для многочленів над полем дійсних чисел(як і для диференційованих функції) справедливі, як відомо, такі правила диференціювання:
[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x) (1)
[f(x)*g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) (2)
І, зокрема,
[cf(x)]’=cf’(x) – (c - константа) (3)
Справедливість цих рівностей не залежить від того, над яким полем ці многочлени розглядають, бо вони означають просто рівність відповідних коефіцієнтів многочленів в обох частинах рівностей.
Пояснимо цю думку на прикладі формули (1). Якщо дано два многочлена з кільця R[x]:
f(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x+a0,
g(x) = bmxm +bm-1xm-1+…+b1x+b0, (n≥m), то
f(x)+g(x)= anxn +an-1xn-1+…+(am+bm)xm+…+(a1+b1)x+(a0+b0).
Переходячи до похідних за правилом (*), помічаємо, що формула (1) означає просто тотожну рівність многочленів:
nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+m(am+bm)xm-1+…+(a1+b1)= [nanxn-1+(n-1)an-1xn-2+…+mamxm-1+…+a1] +[mbmxm-1+…+b1](4)
Можна розглядати f’(x), f’’(x), f’’’(x),…fk(x). При цьому fk(x) – визначають як похідну f(k+1)x, fk(x)=0, k>n, fn(x)=n!an(an – сталий коефіцієнт f(x)).
Незвідні кратні множники многочлена.
Всякий многочлен над полем Р можна єдиним способом подати у вигляді добутку многочленів нижніх степенів, незвідних у цьому полі:
f(x)=[p1(x)]k1[p2(x)]k2…[pi(x)]ki (5)
Якби для кожного многочлена був відомий канонічний розклад (5), тоді було б досить розглядати лише незвідні множники, степінь яких, як правило, значно нижчий за степінь даного многочлена.
Покажемо, що в деяких випадках можливо розробити загальний метод розкладання многочлена на множники, хоч цей розклад не буде таким повним, як зображення (5).
Виберемо у розкладі (5) ті незвідні множники pi(x), кратність яких ki дорівнює 1, і позначимо добуток цих множників через µ1(x):
µ1(x)=pi1(x) pi2(x)… pis(x)
Тепер утворимо добуток тих множників pj(x) – кратність яких kj =2, тобто тих, які входять у (5)зі степенем 2.
µ2(x)=pj1(x) pj2(x)… pjs(x)
µ2(x) – добуток самих незвідних множників, а не їх квадратів, так що в розклад входить [µ2(x)]2.
µ3(x) – добуток незвідних множників кратності 3 і т.д.
Розклад (5) можна записати:
f(x)= µ1(x)[ µ2(x)]2[ µ3(x)]3…[ µm(x)]m, (6)
або ж f= µ1 µ22 µ33... µmm.
Якщо множників кратності k<m в розкладі (6) немає природно вважають µk=1.
Розклад (6) доцільний тоді, коли в (5) існують кратні множники. Якщо ні, то f(x)= µ1 (x).
Приклад 1.
f(x)= x13-5x12+6x11+4x10-9x9+5x8-6x7-4x6+8x5=x5(x-2)3(x2+1)(x+1)2(x-1).
µ1=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, µ2=x+1, µ3=x-2, µ4=1, µ5=5.
f(x)= µ1(x)*[ µ2(x)]2*[ µ3(x)]3*[ µ4(x)]4*[ µ5(x)]5.
В цьому прикладі розклад многочлена f(x) на множники µk(x) дає змогу повністю знайти всі його корені, тому , що ми вміємо розв’язувати рівняння 1-3 степенями.
№3
Задача відокремлення кратних множників
Задача зображення многочлена у вигляді (6) називається відокремленням кратних множників .
Теорема 1:
Якщо незвідний у даному числовому полі P многочлен g(x) є множником кратності k≥2 для многочлена f(x), то він є множником кратності k-1 для похідної f (x). Якщо g(x) є множником першої кратності многочлена f(x), то він не входить у розклад похідної f (x) на незвідні многочлени.
Наслідок . Для того, щоб многочлен f(x) не мав кратних множників необхідно і достатньо, щоб f(x) був взаємно простим зі своєю похідною f (x).
Наше завдання полягає в тому, щоб знаючи лише коефіцієнти многочлена f(x), визначити .
Оскільки є добутком незвідних множників многочлена f(x), які мають кратність k=1, то в f (x)жодний з цих множників (Т.1) входити не буде, є добутком незвідних множників f(x) кратності 2.
У f (x)усі ці множники входять з кратністю одиниця, тобто f (x)має своїм множником добуток (x) усіх цих незвідних множників, але вже у першому степені. Аналогічно, якщо f(x) має множником , то f (x) матиме множник .
Отже f = … ,
де не ділиться на
НСД (f , f ) є добутком усіх множників, які входять у розклади як f (x), так і f (x):
…
Знайдемо : … , де не ділиться на (i=2,…,m).
Далі:
…
… (7)
. Знайдемо кожний з множників окремо:
Поділимо f на :
,
аналогічно :
, (8)
…
,
.
З (7) та(8) множники дістанемо безпосередньо :
; , …, , (9)
У довільного многочлена над полем P можна відокремити кратні множники за допомогою скінченного числа раціональних дій над деякими многочленами.
Приклад 2
Відокремити кратні множники многочлена
Знайдемо спочатку многочлени : — НСД f(x) і f (x)= Застосувавши алгоритм Евкліда, дістанемо:
Далі маємо і знаходимо
=> тому
Обчислимо многочлени :
Знаходимо множники , = ; ,
Маємо f (x)= .
№4
Ознака кратності кореня многочлена.
Теорема:
Для того, щоб α був коренем кратноті k многочлена f(x) необхідно, щоб
f(α)=f’(α)=…= (9)
Нб.: Нехай α є коренем f(x) — кратності k, це означає що x- α є незвідним множником k-i кратності многочлена f(x). За Т.1 (x- α) є незвідним множником похідної f (x)кратності k-i, тобто α є коренем (k-1) –ї кратності многочлена f (x)
Аналогічно, є коренем (k-2) –ї кратності многочлена -ї кратності і т.д. Нарешті x-α своїм множником кратності 1, а цього множника не має зовсім, і тому , за наслідком з теореми Безу ≠0. Отже (9) справджуеться.
Дт. Нехай справджується умова (9). Тоді α є коренем многочлена Позначимо кратність цього кореня через l і покажемо, що l=k.