- •Спецглавы математики
- •Лекция 1.............................................................................................................4
- •Аннотация
- •Лекция 1 План лекции
- •Функции комплексного переменного.
- •1.Область на комплексной плоскости.
- •Лекция 2 План лекции
- •2. Понятие и функции комплексного переменного.
- •3. Дифференцируемость и аналитичность.
- •Лекция 3 План лекции
- •Элементарные функции комплексного переменного.
- •3. Логарифмическая функция.
- •Пусть , а , тогда ,
- •4.Тригонометрические функции.
- •5. Гиперболические функции.
- •6. Обратные тригонометрические функции.
- •Контурным интегралом функции комплексного переменного называется , если существует, не зависит от способа деления контура с точками и от выбора точек на дуге .
- •Лекция 7 План лекции
- •Представление аналитических функций рядами.
- •Ряд Тейлора.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 9 План лекции
- •Лемма жордана.
- •Интеграл фурье. Преобразование фурье.
- •Лекция 10 План лекции
- •Некоторые специальные функции.
- •1. Единичная ступенчатая функция.
- •2. Дельта функция.
- •Лекция 11 План лекции
- •Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.
- •Свойства преобразований лапласа.
- •Лекция 13
- •Лекция 14
- •Применение преобразования лапласа для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •Обратное преобразование лапласа рациональной алгебраической дроби.
- •Изображение импульса произвольной формы.
- •Изображение периодических функций.
- •Лекция 15
- •Решетчатые функции.
- •Решетчатые функции.
- •Разностные уравнения.
- •Линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 16
- •Дискретное преобразование лапласа.
- •Лекция 17
- •Связь между обычным преобразованием лапласа и d и z- преобразованиями. Преобразование .
- •Свойства z – преобразования.
Лекция 10 План лекции
Единичная ступенчатая функция.
Дельта - функция.
Два способа введения -функции.
Фильтрующее свойство -функции.
Некоторые специальные функции.
1. Единичная ступенчатая функция.
Единичной ступенчатой функцией (1(t)) называют следующую функцию:
(1)
р ис. 1
Равенство (1) не определяет значение функции 1(t) в момент t=0. В большинстве случаев это обстоятельство не имеет никакой роли. При необходимости функцию 1(t) доопределяют одним из трех способов.
1) 2) 3)
Запаздывающая единичная ступенчатая функция задается соотношением:
Название запаздывающая функция обосновано тем, что график функции получается из графика 1(t) путем смещения вправо на величину .
Функции вида - запаздывающие, т. к. они повторяют сигнал f(t), но с запаздыванием на величину времени , т. е. со смещением графика функции вправо.
Р ис. 2
2. Дельта функция.
Дельта функция ( ) введена в математику известным физиком Дираком и поэтому часто называется функцией Дирака. Дельта функция не является функцией в обычном смысле слова, а относится к так называемым обобщенным функциям.
Существуют разные способы введения - функции.
- функцией будем называть функцию, удовлетворяющую следующему интегральному уравнению: (2)
Проанализируем уравнение (2).
Из (2) следует, что при t<0 (3)
Поскольку соотношение (3) справедливо для любого t<0, то это очевидно возможно лишь при условии (t)=0 при t<0.
Пусть t>0. Обозначим через малое положительное число. Запишем равенство:
(4)
Из (4) следует равенство:
(5)
Так как равенство (5) справедливо для любого t>, то это возможно только при условии (t)=0 при t>. - cколь угодно малое положительное число, поэтому справедливо равенство: (t)=0 при t>0.
Для определения значения функции в момент времени t=0 в соответствии с (2) запишем
, где - малое положительное число.
В соответствии с (2) .
(6)
Равенство (6) справедливо для любого сколь угодно малого положительного . Таким образом, площадь под кривой на бесконечно малом интервале интегрирования равняется положительному числу 1. Это возможно только при условии . Следовательно
(7)
К равенству (7) необходимо добавить соотношение (8),
которое непосредственно следует из равенства (2).
- функцию обычно задают с помощью соотношений (7) и (8). Продифференцируем формально по t равенство (2).
На этом основании (t) рассматривают как производную единичной ступенчатой функции.
Соотношение между 1(t) и (t) пояснить с помощью следующих предельных переходов. Рассмотрим функцию . Покажем, что . Действительно
р ис. 3 ( )
Найдем производную .
Покажем, что . Действительно
.
, ч. т. д.
На основании , . Заключаем
.
Р ис. 4( )
Запаздывающая - функция определяется соотношением
Рассмотрим интеграл , полагая, что f(t) непрерывна в точке . Принимая во внимание вид (t), имеем
(9)
.
Свойство, выраженное равенством называют фильтрующим свойством (t).
Введение - функции позволяет дифференцировать разрывные функции. Рассмотрим функцию , которая имеет в точке разрыв первого рода.
при