Лекция 9 План лекции

4. Лемма Жордана.

5. 2, 3 и 4-ая формулировки леммы Жордана.

6. Применение леммы Жордана для вычисления несобственных интегралов.

Лемма жордана.

Лемма Жордана (первая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( при , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого .

Рис. 1

Положим , тогда дуги примут вид: ,

, ,

, ,

Функциональный множитель . Другие изменения, которые вызваны заменой учтем, переходом от функции g(z) к функции F(p).

Лемма Жордана (вторая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .

Р ис. 2

Заменим во второй формулировке леммы Жордана р на –р. В этом случае контур , . В функциональном многочлене знак минус введем в параметр , т. е. .

Лемма Жордана (третья формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента р, то для любого .

Рис. 3

Заменим в первой формулировке z на –z. В функциональном множителе знак минус введем в параметр , т. е. . Контур принимает вид , .

Лемма Жордана (четвертая формулировка): Если на некоторой последовательности дуг , ( , а фиксировано) функция равномерно относительно аргумента z, то для любого .

Рис. 4

Пример.

Требуется найти функцию f(z), если преобразование Фурье функции , .

В соответствии с преобразованием Фурье: . Для вычисления данного интеграла можно использовать теорию вычетов и лемму Жордана.

Рассмотрим функцию , положив z=w+iy.

2. Пусть t>0. Рассмотрим замкнутый контур

Р ис. 5

Вычислим интеграл

(*)

Перейдем в (*) к пределу при , тогда (по первой формулировке леммы Жордана).

В результате получим, что .

2. Пусть t<0. Рассмотрим замкнутый контур .

Рис. 6

Вычислим интеграл по контуру с:

(**)

Перейдем в (**) к пределу при , тогда ( по четвертой формулировке леммы Жордана).

В результате получим, что .

Р ис. 7

Интеграл фурье. Преобразование фурье.

Теорема. Если f(t) кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция и удовлетворяет условиям абсолютной интегрируемости, т. е.

, то функция f(t) представляется интегралом Фурье:

(1)

На практике обычно используют комплексную форму интеграла Фурье:

(2)

Покажем, что ряд (1) и (2) эквивалентны

Обозначим

Ясно, что - четная функция , а функция - нечетная функция . Поэтому

в силу нечетности функции.

Окончательно получим, что

Представим интеграл (2) в виде .

Обозначим (3)

тогда (4)

Равенство (4) прямое преобразование Фурье. Оно позволяет вещественной функции f(t) поставить в соответствие функцию F(iw). Обычно прямое преобразование Фурье записывают в виде . Равенство (4) задает обратное преобразование Фурье. Оно позволяет по комплексной функции F(iw) восстановить вещественную функцию f(t).

Преобразования Фурье относятся к интегральным преобразованиям. Переход от вещественной функции f(t) к комплексной функции F(iw) позволяет упростить некоторые математические операции, например, дифференцирование вещественной функции f(t) в комплексной области (для функции F(iw) это соответствует умножению на iw).

Символически прямое преобразование Фурье представляется в виде:

, а обратное .

Рассмотрим физический смысл интеграла (4). Множитель задает гармоническую функцию. По определению интеграл представляет собой операцию суммирования по частоте w . Таким образом, из равенства (4) следует, что периодическую функцию можно представить в виде бесконечной суммы гармонических функций, при этом в отличии от ряда Фурье частота w в (4) изменяется непрерывно от до . По аналогии с рядом Фурье функцию F(iw) называют комплексный спектр (спектральная характеристика, спектральная плотность).