Мкч в бесконечно глубокой потенц-ой яме.

Р ассмотрим движ-ие мкч вдоль оси Х в потенц-ой поле: 0, при 0≤ х ≤ а U(x)

U(x) = { ∞, при -∞<х< 0

∞>х> а

0 a x

такое потенц-ое поле соотв-т ∞ глуб-й пот-ой яме.

При 0≤ х ≤ а описыв-ся стац-ое уравнение Шр-ра в виде: ∂²Ψ + 2m E Ψ = 0 (1)

∂x² ħ²

E = E_k = (p²/2m) = (ħ²k²/2m) (2)

(2) → (1): ∂²Ψ + k² Ψ = 0 (1’)

∂x²

общее решение для (1’): Ψ(x)=C₁ e^ikx + C₂ e^-ikx (3)-описание движ-ия мкч внутри потенц-ой ямы.

За пределами ямы: |Ψ(x) |² = 0 → Ψ(x) ≡ 0

Для соблюд-я непрерывности ВФ должны вып-ся граничные условия: (т.е. ВФ должна обращ-ся в 0 на стенке ямы): 1- Ψ(0)=0,

из (3)→С₁+С₂=0→ С₁=-С₂→ С₁≡С.

2- Ψ(а)=0, из (3) →Сe^ika – Ce^-ika=0→ e^ika – e^-ika=0 (4).

Воспользуемся формулой Эйлера:

e^{± iφ}=cosφ ± i sin φ (5). Используя (5) преобраз-ем выраж-ие для ВФ: Ψ(x)=Сe^ikx – Ce^-ikx = C (cos kx +

i sin kx – cos kx + i sin kx) = 2 I C sin kx →

Ψ(x) = A sin kx (6)-мкч в потенц-ой яме. Анал-но преобраз. (4):e^ika–e^-ika=coska+sin ka–cos ka+sin k =2i sin ka=0→оно должно вып-ся (4’)

Sin ka = 0 →ka=nП, n=1,2,3,4,…; k_n=^nП_а (7)

Таким образом, из условия непрерывности ВФ → при движении частицы в яме волновое число может принимать только опред-ые дискретные значения, определяющиеся условием (7). Тогда энергия частицы в яме, с учетом (7): E_n = ħ²k²/2m = n² П²ħ² / 2ma² n=1,2,3,… (8)-собствен-е знач-е энергии

из (8) →энергия мкч движ-ся в яме может принимать строго опред-ые знач-ия, т.е. энергетич-й спектр такой частицы является дискретным, или энергия частицы в яме квантуется. С учетом (7) ВФ мкч: Ψ(x)=Аsin(n^П_а х)

-собствен-ые функции. Вероятность нахождения r на [dx] внутри ямы в данный момент t:

dη_x=| Ψ(x) |² dx=|A|²sin(n^П_а х)dx; dη_x/dx=f(x)

т.е. вероятность место нахождения в различных точках ямы зависит от местоположения частицы. Знач-я энергии удовлетворяющие уравн-ю Шр-ра наз-ся собственными знач-ми энергии, а ВФ им соответствующие собственными функциями.