- •1. Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.
- •2. Частотне та класичне означення ймовірності
- •3. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •4.Геометричне означення ймовірності.Парадокс Бертрана.Задача Бюффона
- •5. Аксіоматичне означення імовірності. Властивості імовірностей
- •6.Умовні ймовірності.Приклади
- •7.Формула повної імовірності та формула Байєса.
- •8.Незалежні події
- •9. Дискретні випадкові величини. Їх характеристики.
- •11. Дисперсія випадкових величин. Властивості.
- •12. Коефіцієнт кореляції випадкових величин
- •14. Схема Бернулі. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •16. Функція розподілу, щільність випадкових величин.
- •17. Рівномірний, показниковий та нормальний розподіли, їх характеристики.
- •18. Функції від неперервних випадкових величин
- •19. Багатовимірні розподіли.
- •20. Нерівність Чебишева
- •21. Типи збіжності випадкових величин
- •22. Генератриси, їх властивості.
- •24. Перша теорема Хелі
- •25. Друга Теорема Хеллі
- •26. Теорема неперервності
- •27. Теорема Пуассона
- •28. Закон великих чисел
- •29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.
- •32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.
- •Називається Ланцюгом Маркова
- •Рівність Чепмена-Колмогорова
- •33. Класифікація станів дискретного ланцюга Маркова
- •34. Рекурентні ланцюги Маркова.
- •36. Поняття випадкового процессу. Скінченновимірні розподіли випадкових процесів.
- •37. Процеси з незалежними приростами
- •38. Вінерівський процес (процес броунівського руху):
- •39.Пуассонівський процес
- •40. Процеси відновлення. Функція відновлення
- •42. Гіллясті процеси
- •43. Ланцюги Маркова з неперервним часом. Класифікація станів
- •44. Система диференціальних рівнянь Колмогорова для ланцюгів Маркова з неперервним часом.
26. Теорема неперервності
Теорема неперервності для характеристичних функцій.
Пряма теорема
тоді
Обернена теорема
Якщо , тоді при цьому буде її характеристичною функцією.
Наслідок теореми неперервності
Теорема Пуасона
- загальна кількість успіхів
тоді
характеристична функція Пуасона
27. Теорема Пуассона
Наслідок теореми неперервності
Теорема Пуассона
1, 2 … n - загальна кількість успіхів
тоді
характеристична функція Пуасона
Наслідок : зберігаються характеристічні функції збігаються розплділи
28. Закон великих чисел
ξ1, ξ2…ξn- випадкові величини
будь-яке твердження про збіжність середніх випадкових величин – закон великих чисел.
Теорема Хінчина: нехай ξ1, ξ2…ξn- послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин (пнорвв)
Тоді
Доведемо: якщо ξn
Дов.: Sn=
l(t)= - позначення
=
l’(t)=
l’(0)=
- Характеристичн фунція Sn прямує до а, тоже
29. Закон великих чисел. Теореми Чебишева та Маркова.
Нехай {ξn, n≥1} — (ПНВВ) із скінченними мат сподіваннями ai=Mξi , i≥1. Вважається, що для цієї послідовності виконується закон великих чисел (ЗВЧ), якщо за ймовірністю, тобто для будь-якого ε > 0 Надалі ξn→ ξ, n→∞ за ймовірністю, якщо для будь-якого ε > 0
(збіжність за ймовірністю). Отже будя-яке твердження про збіжність середніх арифметичних випадкових величин носить назву ЗВЧ.
Теорема Чебишева
Якщо { n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин з
Mk ak , DC , k 1, то для неї виконується ЗВЧ
Доведення:
Теорема Маркова
Якщо { n, n1} — послідовність незалежних випадкових величин зMk ak ,
то для неї виконується закон великих чисел.
Наслідок:
Якщо { n, n1} — ПНВВ зMk ak , n≥1 тоді і для неї виконується ЗВЧ.
Нехай { n, n1}— послідовність таких незалежних випадкових величин, що
Тоді вважається, що для послідовності { n, n1}виконується:
а) умова Ліндберга, якщо для
б) умова Ляпунова, якщо для деякого δ 0
30. Центральна гранична теорема
(послідовні незалежні однаково розподілені випадкові величини)
M =a
p<D =
тоді:
dt
- стандартизовані випадкові величини
Наслідок – Інтегральна теорема М.-Л.
1 g p
{0 h q
a=
31. Умова Лінденберга, Теорема Ляпунова
1) умова Лінденберга
2) т.Ляпунова
Твердження
!!! L і L1 будуть виконуватись для ЦГТ, якщо п. рівномірно мала.
32. Дискретні ланцюги Маркова. Матриця перехідних ймовірностей.
– дискретні випадкові величин.
Послідовність
– додатні цілі значення
Називається Ланцюгом Маркова
Якщо для цілих додатних
Виконується рівність
– ймовірність пероходу iз стану в стан на -тому кроці;
– множина станів ланцюга Маркова
Якщо однакова, тоді ланцюг називається однорідним
– матриця переходу ймовірностей за 1 крок
Будь-яка матриця називається стохастичною
– матриця переходу за кроків
– стохастична матриця переходу за кроків