Напряженное состояние в точке. Главные площадки и главные напряжения

Задача 4.1.1: Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называют …

1) напряженным состоянием в точке;

2) полным напряжением;

3) нормальным напряжением;

4) касательным напряжением.

Решение:

1) Ответ верный. Напряженное состояние в точке полностью определяется шестью компонентами тензора напряжений: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_yz, τ_zx. Зная эти компоненты, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку. Совокупность напряжений, действующих по множеству площадок (сечений), проходящих через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

2) Ответ неверный! Незнание определения полного напряжения в точке (сила, приходящаяся на единицу площади сечения).

3) Ответ неверный! Напомним, что проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению называется нормальным напряжением.

4) Ответ неверный! Допущена ошибка в определении термина «касательное напряжение». Проекция вектора полного напряжения на ось, лежащую в плоскости сечения, называется касательным напряжением.

Задача 4.1.2: Площадки в исследуемой точке напряженного тела, на которых касательные напряжения равны нулю, называют …

1) ориентированными; 2) главными площадками;

3) октаэдрическими; 4) секущими.

Решение:

1) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Под ориентированными понимаются площадки, которые проходят через точку по заранее заданному направлению.

2) Ответ верный.

При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю). Площадки (грани), на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками.

3) Ответ неверный! Термин не соответствует заданному условию. Октаэдрическими называют площадки равнонаклоненные к главным. Касательные напряжения на октаэдрических площадках не равны нулю.

4) Ответ неверный! Напоминаем, что под секущими понимают площадки проведенные через точку, в которой исследуется напряженное состояние.

Задача 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа).

1)σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа; 2) σ₁=0 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=150 МПа;

3) σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=0 МПа;

4) σ₁=100 МПа, σ₂=100 МПа, σ₃=0 МПа;

Решение:

1) Ответ неверный! Не указано значение главного напряжения σ₃=0 МПа.

2) Ответ неверный! Обозначения главных напряжений не соответствуют правилу нумерации.

3) Ответ верный. Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю. Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой , где положительные направления напряжений показаны на рисунке. Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем   В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем , , , т.е. плоское напряженное состояние.

4) Ответ неверный! Это не главные напряжения, а заданные значения нормальных напряжений, действующие на выделенный элемент.

Задача 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений:      Главные напряжения в этом случае равны...

1)σ₁=150 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=-100 МПа;

2) σ₁=150 МПа, σ₂=-100 МПа, σ₃=50 МПа;

3) σ₁=50 МПа, σ₂=-100 МПа, σ₃=150 МПа;

4) σ₁=-100 МПа, σ₂=50 МПа, σ₃=150 МПа;

Решение:

1) Ответ верный. Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие . Следовательно,    

2), 3), 4) Ответ неверный! Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие  (в алгебраическом смысле).

Задача 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения  напряжений в МПа. Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение:

1), 2), 4) Ответ неверный! По всей видимости, неправильно записана формула для определения угла. Правильная запись: